[論文レビュー] Relative MMP without Q-factoriality

Janós Kollár|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、Q-因子的でない場合でも相対的最小モデルプログラム（MMP）を確立し、フラップが1-補完可能であり、ステップが予想よりも単純であることを示している。特に、dlt特異点、ログ正則性、双対複体、および代数的空間のdlt変形に関する主要な定理において、Q-因子的性の仮定を排除した。非Q-因子的多様体に対して、制御された例外的 divisor を持つスケーリング付きMMPを用いることで達成された。

ABSTRACT

We consider the minimal model program for varieties that are not Q-factorial. We show that, in many cases, its steps are simpler than expected. In particular, all flips are 1-complemented. The main applications are to log terminal singularities, removing the earlier Q-factoriality assumption from several theorems of Hacon--Witaszek and de~Fernex--Kollár--Xu. Version 2: many small changes.

研究の動機と目的

• Q-因子的性を仮定せずに、非Q-因子的多様体への最小モデルプログラム（MMP）の拡張を達成すること。
• 特定の状況下で、MMPのステップ（特にフラップ）が予想よりも単純である、具体的には1-補完可能であることを示すこと。
• dlt特異点、有理特異点、および双対複体に関する定理におけるQ-因子的性の仮定を排除すること。
• Q-因子的性を仮定せずに、代数的空間に対してdlt変形の存在性と一意性を証明すること。
• 非Q-因子的設定への双対複体の収縮可能性および層のCM性に関する結果を一般化すること。

提案手法

• 射影的な準同型 g:X→S におけるR-コホーナー除数 H のスケーリング付き相対MMPを用いる。
• 例外的 divisor E がQ-コホーナー除数に含まれるようなdlt対 (X,Θ) にMMPを適用し、線形独立な係数を持つg-アンピールなR-除数Hを用いる。
• MMPのステップが適切に振る舞うように条件 (i)–(v) を課す：Ex(φj) ⊂ Supp(Ej) であり、かつ、いずれかが除法的または小スケールであり、特定のアンピール性条件を満たす。
• 各MMPステップが例外的 divisor のQ-コホーナー構造を保ち、かつ EΘ + (rj−ε)H のアンピール性を維持することを証明する。
• これらの条件下でMMPステップの一意性を用いて、代数的空間における貼り合わせを可能にする。
• 双対複体およびCM層への応用において、Q-因子的性がなくても収縮可能性およびCM性が保たれることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Q-因子的性を仮定せずに、非Q-因子的多様体上でMMPを実行し、終了させることは可能か？
• RQ2 多様体がQ-因子的でない場合、MMPにおけるフラップは、特に1-補完可能であるという点で、より単純になるか？
• RQ3 dlt特異点の双対複体および有理特異点に関する定理におけるQ-因子的性の仮定を排除できるか？
• RQ4 非Q-因子的多様体に対するスケーリング付きMMPは、依然として制御された最小モデルを生成し、重要な幾何的性質を保つのか？
• RQ5 Q-因子的性を仮定せずに、代数的空間に対してdlt変形を構成できるか？

主な発見

• 非Q-因子的多様体におけるスケーリング付きMMPは、除法的収縮または2つのQ-コホーナー除数を持つ小フラップであるステップを生成し、単純性を保証する。
• MMPにおけるすべてのフラップは1-補完可能である。これは、正規化された除数がQ-コホーナー除数に加えて、アンピール除数の小さな倍数と数値的に同値であることを意味する。
• MMP中で例外的 divisor は常にQ-コホーナーのままであり、重要な代数的幾何的性質が保たれる。
• dlt対の一点上のファイバーの双対複体は、例外的集合がg-アンピール除数を含む限り、点に収縮可能である。Q-因子的性がなくても成立する。
• スケーリング付きMMPは、最小モデルに終了し、−EΘm が有効で、その台が射影の下で飽和しているため、良好な制御が得られる。
• 特徴0の体上の正規代数的空間に対して、Q-因子的性を仮定せずにdlt変形が存在し、かつ、Q-因子的であるか、または例外的 divisor がアンピールであるように選べる。