[論文レビュー] Vanishing theorems for threefolds in characteristic $p>5$.

Fabio Bernasconi, Janós Kollár|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、特徴値 p > 5 の正の特性における3次元 dlt 対について、Grauert-Riemenschneider 型の消滅定理を確立し、やや滑らかでない特異点と完全体の残渣体を備えた特定の線束の高次の直接像が消えることを証明する。主な結果は、特性 >5 の完全体上の優れた dlt 3次元多様体へ消滅を拡張し、正の特性における有理的特異点とモーリー・ファイバー空間への応用を可能にする。

ABSTRACT

We prove Grauert-Riemenschneider-type vanishing theorems for excellent dlt threefolds pairs whose closed points have perfect residue fields of positive characteristic $p>5$. Then we discuss applications to dlt singularities and to Mori fiber spaces of threefolds.

研究の動機と目的

• 古典的な Grauert-Riemenschneider 消滅定理を特異な状況へ拡張し、特徴値 p > 5 の正の特性における3次元多様体の消滅定理を確立すること。
• 特徴値 p > 5 の完全体上の優れた dlt 3次元多様体対において、G-R 消滅定理が成り立つことを証明すること。
• 消滅結果を応用し、正の特性および混合特性における dlt 対の局所的有理的性および有理的特異点性を導出すること。
• 3次元の完全体上の正の特性におけるモーリー・ファイバー空間の可約性および有理的性を研究すること。
• ヤスダの不変量 DV を用いた野生的商特異点を用いて、正の特性における非 lc 特異点を持つ基底を有する、新しい病理的例のモーリー・ファイバー空間を構成すること。

提案手法

• dlt 3次元多様体対の解消に、対数解体を適用し、最小モデルプログラム (MMP) を実行する。
• 表面の消滅定理への還元により、除法的収縮およびフリップの下で G-R 消滅が保たれることを証明する。
• 特徴値 p > 5 の完全体上のデル・ペッツォ型表面に対する重要な消滅定理を適用する。
• S2-被覆と反射的層の技術を用いて、特異な表面における双対層と制限列を分析する。
• klt および dlt 特異点が、完全体上の次元3において有理的特異点を意味することを活用する。
• ヤスダの不変量 DV を用いて、Cp-表現のための野生的商特異点を用いて反例を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴値 p > 5 の正の特性における3次元 dlt 対に対して、Grauert-Riemenschneider 消滅定理は成り立つか？
• RQ2 正の特性において、適切なネフかつビッグ条件の下で、Weil 級数の高次の直接像は消えるか？
• RQ3 特徴値 p ≥7 の完全体上のモーリー・ファイバー空間の基底は、有理的特異点を持つのか？
• RQ4 正の特性において、非対数的特異点を持つ基底を有する3次元モーリー・ファイバー空間を構成できるか？
• RQ5 klt 対間の被覆写像や収縮が、Witt ベクトル上に持ち上がるのはどのような条件下か？

主な発見

• 特徴値 p > 5 の完全体の残渣体を備えた優れたスキーム上の3次元 dlt 対 (X, ∆) に対して、G-R 消滅定理が成り立つ。
• p > 5 という仮定は最適であり、p ≤ 5 の場合に反例が存在する。
• −(KX + ∆) が f-ビッグかつ f-ネフであるような対数ファノ収縮 f: X → Z に対して、自然な写像 OZ → Rf∗OX は特徴値 p ≥7 において同型である。
• k が特徴値 p ≥7 の完全体であるとき、3次元コニカルバンドル π: X → S の基底スキーム S は有理的特異点を持つ。
• 特徴値 p ≥5 において、終極的総体と非対数的特異点を持つ基底を有する3次元モーリー・ファイバー空間が存在する。
• このようなモーリー・ファイバー空間の基底はハイパーフェルム特異点であり、総体はコーエン＝マカウレーでないため、正の特性における病理的挙動を示している。