[論文レビュー] Relative Property (T) Actions and Trivial Outer Automorphism Groups

Damien Gaboriau|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 21被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、非アーベル自由積のすべての群が、相対的性質(T)を備えた自由で確率測度を保存するエルゴディック作用をもつことを確立し、生成数が2の自由群で外部自己同型群が自明であるような作用の最初の例を提供する。非可算なほぼ互いに素な族と剛性技法を用いて、連続体個の非軌道同値な作用の存在を証明し、関連する同値関係の外部自己同型群が自明であることを示している。

ABSTRACT

We show that every non-amenable free product of groups admits free ergodic probability measure preserving actions which have relative property (T) in the sense of S.-Popa \cite[Def. 4.1]{Pop06}. There are uncountably many such actions up to orbit equivalence and von Neumann equivalence, and they may be chosen to be conjugate to any prescribed action when restricted to the free factors. We exhibit also, for every non-amenable free product of groups, free ergodic probability measure preserving actions whose associated equivalence relation has trivial outer automorphisms group. This gives in particular the first examples of such actions for the free group on $2$ generators.

研究の動機と目的

• 自由で確率測度を保存するエルゴディックな相対的性質(T)作用をもつ可算離散群を特徴づけること。
• 自由積における相対的性質(T)作用の構成において、構成要素に算術的仮定を課さないこと。
• 関連する同値関係の外部自己同型群が自明であるような非アーベル自由積の作用を構成すること。
• F∞から有限ランクの自由群および一般の非初等的自由積への結果の拡張。
• このような群に対して、非可算個の非軌道同値な相対的性質(T)作用の存在を示すこと。

提案手法

• 群測度空間構成を用いて、標準的確率空間上の自由p.m.p.作用を構成する。
• ポパの、von Neumann代数の包含 $ L^∞(X,\mu) \subset L^∞(X,\mu) \rtimes_\sigma \Gamma $ における相対的性質(T)の概念を適用する。
• 無限集合の族 $ \mathcal{E}_1 $ が $ \mathbb{N} \setminus \{0\} $ の部分集合として非可算かつほぼ互いに素であることを用いて、異なる作用を生成する。
• 部分同型 $ \varphi_n $ のエルゴディシティと独立性を用いて、特定の自己同型が局所的内部的であることを示し、したがって全体としても内部的であることを示す。
• [IPP08] および [MS06] の剛性結果を適用し、von Neumann同値が軌道同値を意味することを導く。
• 特定の条件下で剛性を持つカルタン部分代数が本質的に一意であるという事実を用いて、外部自己同型群を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの可算離散群が、相対的性質(T)を備えた自由でエルゴディックなp.m.p.作用をもつか？
• RQ2 算術的仮定を課さずに、非アーベル自由積に対して相対的性質(T)作用を構成できるか？
• RQ3 有限生成の自由群は、関連する同値関係の外部自己同型群が自明となる作用をもつか？
• RQ4 非アーベル自由積に対して、非可算個の非軌道同値な相対的性質(T)作用が存在するか？
• RQ5 群が高ランク格子でない場合でも、同値関係の外部自己同型群が自明になり得るか？

主な発見

• 非アーベル自由積のすべての群が、相対的性質(T)を備えた自由でエルゴディックなp.m.p.作用をもつ。これは、従来の算術的作用を要請する結果の一般化である。
• 軌道同値およびvon Neumann同値の意味で、このような作用は連続体個存在する。
• 自由因子に制限した場合、任意に事前に指定された作用に共役に選べる。
• 任意の非アーベル自由積 $ \Gamma_1 * \Gamma_2 $ に対して、$ (|\Gamma_1|-1)(|\Gamma_2|-1) \geq 2 $ ならば、外部自己同型群が自明となる作用が存在する。
• 生成数が2の自由群に対して、このような作用の最初の例が得られた。
• これらの作用に対して、関連する同値関係の外部自己同型群は自明であり、これは非可算個の非軌道同値な作用に対しても成り立つ。