[論文レビュー] Relative virtual localization and vanishing of tautological classes on moduli spaces of curves

Tom Graber, Ravi Vakil|ArXiv.org|Sep 14, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、安定相対写像のモジュライ空間に対する相対仮想局所化公式を導入し、これが、曲線が少なくとも i − g + 1 個の genus 0 成分をもつ場合を除き、安定 n 点付き曲線のモジュライ空間上のすべての codimension-i トローリカルクラスが消えることを証明するために用いられる。主な貢献は、モジュライ空間理論における多数の消去定理の背後にある幾何的原理を明らかにしたことであり、Hurwitz クラスと多項式的トリックを用いたタウロロジカル環およびグロモフ＝ウィッテン理論への応用を含む。

ABSTRACT

We prove a localization formula for the moduli space of stable relative maps. As an application, we prove that all codimension i tautological classes on the moduli space of stable pointed curves vanish away from strata corresponding to curves with at least i-g+1 genus 0 components. (The proof of this result is quite short and naive.) As consequences, we prove and generalize various conjectures and theorems about various moduli spaces of curves (due to Getzler, Ionel, Faber, Looijenga, Pandharipande, Diaz, and others). This theorem appears to be the geometric content behind these results; the rest is straightforward graph combinatorics. The theorem also suggests the importance of the stratification of the moduli space by number of rational components.

研究の動機と目的

• 安定相対写像のモジュライ空間に対する相対仮想局所化公式を確立し、局所化技法を相対的設定へと拡張する。
• トローリカルクラスが codimension i である場合、少なくとも i − g + 1 個の genus 0 成分をもつストラタを除き消えることを証明し、既存の予想を統一的かつ一般化する。
• 曲線のモジュライ空間のトローリカル環における既知の消去結果の背後にある幾何的基盤を提供する。
• 有理成分の数によるストラティフィケーションが、トローリカルクラスの台の理解において中心的役割を果たすことを示す。
• 低次元のトローリカル群における消去定理の導出および関係式の生成に体系的な手法を提供する。

提案手法

• 安定相対写像のモジュライ空間を滑らかなデリーニ＝マクマーレンスタックへの C*-不変局所閉埋め込みとして構成する。
• C*-固定点集合上の仮想基本クラスが、障害理論の固定部分から生じることを検証する。
• 相対障害理論を用いて、固定点集合の仮想正規バンドルを計算する。
• 相対仮想局所化公式を適用し、多項式的トリックを用いてトローリカルクラスをHurwitzクラスの線形結合として表現する。
• 標的空間 P¹ の変形を用いて、Hurwitzクラスが多くの genus 0 成分をもつ深いストラタに属することを示す。
• グラフの組合せ論を活用し、低codimensionにおけるトローリカル群の消去および生成に関する結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Mg,n 上の codimension-i トローリカルクラスの消去の背後にある幾何的メカニズムは何か？
• RQ2 安定曲線上の genus 0 成分の数が、トローリカルクラスの台にどのように制約を加えるか？
• RQ3 相対仮想局所化は、曲線のモジュライ空間における既知のトローリカルクラスの消去定理を統一的かつ一般化できるか？
• RQ4 有理成分の数によるストラティフィケーションは、トローリカル環の構造において果たす役割は何か？
• RQ5 グロモフ＝ウィッテン理論におけるHurwitzクラスと多項式的性質は、低codimensionにおけるトローリカルクラスの生成にどの程度寄与するか？

主な発見

• Mg,n 上の codimension-i トローリカルクラスは、genus 0 成分の数が i − g + 1 より少ない開集合上で消える。
• codimension i のトローリカルクラスは、少なくとも i − g + 1 個の genus 0 成分をもつストラタ上のクラスの押し出しと有理同値である。
• R1(Mg,n) は M0,4 または M1,1 型の境界ストラタによって生成され、R2(Mg,n) は境界ストラタのみによって生成される。
• codimension 3 では、R3(Mg,n) は境界ストラタおよび M2,1 × ∏M0,3 上に台を持つクラスによって生成され、M2,1 上に唯一の非境界生成子 ψ1 が存在する。
• codimension 4 では、R4(Mg,n) は境界クラスおよび M2,2、M2,1 × M0,4、M2,1 × M1,1 上の ψ1-クラスによって生成され、M0,4 ≅ M1,1 ≅ P¹ であることに着目する。
• codimension 6 では、M3,2 × ∏M0,3 上の codimension-2 クラスから新たな生成子が生じる可能性があるが、そのトローリカル性は A2(M3,2) の計算が完了するまで未解決のままである。