[論文レビュー] Relative volume comparison of Ricci Flow and its applications

Gang Tian, Zhenlei Zhang|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 26被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、初期の非崩壊性仮定を必要としないリッチ・フローにおける相対体積比較推定を確立し、ペレルマンの局所的崩壊なし定理を一般化する。この推定を用いて、ケーラー・リッチ・フローがコディアラー次元1の最小ケーラー多様体上で、一般化されたケーラー・アインシュタイン計量空間にグロモフ＝ハウスドルフ収束することを証明し、解析的最小モデルプログラムにおける重要な予想を確認する。

ABSTRACT

In this paper, we derive a relative volume comparison estimate along Ricci flow and apply it to studying the Gromov-Hausdorff convergence of Kähler-Ricci flow on a minimal manifold. This new estimate generalizes Perelman's no local collapsing estimate and can be regarded as an analogue of the Bishop-Gromov volume comparison for Ricci flow.

研究の動機と目的

• 初期の非崩壊性条件を要しないリッチ・フローにおける相対体積比較推定を構築し、ペレルマンの局所的崩壊なし定理を一般化すること。
• この推定を用いて、半正則な標準束と正のコディアラー次元を持つ最小ケーラー多様体上でのケーラー・リッチ・フローのグロモフ＝ハウスドルフ収束を研究すること。
• 最小楕円的表面における解析的最小モデルプログラム（AMMP）における中心的予想を確認すること、すなわち、ケーラー・リッチ・フローが最小楕円的表面で一般化されたケーラー・アインシュタイン計量空間に収束すること。

提案手法

• 局所化された $χ$-エントロピーと熱核推定を用いて、リッチ・フローに沿った相対体積比較推定を導出する。
• 共役熱核に対するリィ＝ヨウ型下界を確立し、体積の増大を制御する。
• 得られた体積比較を用いて、曲率およびスカラー曲率の仮定の下で、変化する計量の直径を有界化する。
• 特にトーリックファイブレーションを持つ多様体に対して、この推定をケーラー・リッチ・フローに適用する。
• 一般化されたケーラー・アインシュタインカレント $ω_{GKE}$ 及びその誘導する長さ計量を用いて、極限計量空間 $X_{GKE}$ を定義する。
• フローの計量空間と $X_{GKE}$ 間の距離が任意に小さくできるという事実を示すことにより、グロモフ＝ハウスドルフ収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期の非崩壊性を仮定しないリッチ・フローにおける相対体積比較推定を確立できるか？
• RQ2 コディアラー次元1の最小ケーラー多様体上でのケーラー・リッチ・フローは、グロモフ＝ハウスドルフ位相で一般化されたケーラー・アインシュタイン計量空間に収束するか？
• RQ3 リッチ曲率およびスカラー曲率の仮定の下で、ケーラー・リッチ・フローの直径は一様に有界か？
• RQ4 一般化されたケーラー・アインシュタイン計量空間は、最小多様体の標準的モデルと同一視できるか？
• RQ5 ケーラー・リッチ・フローはファイバーを一様に崩壊させ、基底上の標準計量に収束するか？

主な発見

• 初期の非崩壊性仮定を必要とせず、ペレルマンの局所的崩壊なし定理を一般化する新しい相対体積比較推定が確立された。
• この推定を用いて、コディアラー次元1の最小ケーラー多様体上でのケーラー・リッチ・フローが一般化されたケーラー・アインシュタイン計量空間 $X_{GKE}$ にグロモフ＝ハウスドルフ収束することを証明した。
• 収束は、一様なグロモフ＝ハウスドルフ距離の有界性により示された：$d_{GH}((\Sigma,d_{GKE}),(X,d_t)) \leq C_6 \cdot (\delta^{1/4} + \delta')$ であり、これは任意に小さくできる。
• この結果により、最小楕円的表面における解析的最小モデルプログラムにおける重要な予想が確認され、長年の未解決問題が解決された。
• 基底のコンパクト部分集合上で一様なリッチ曲率の有界性を仮定すると、フローの直径は一様に有界となり、体積比較の適用が可能になる。