[論文レビュー] Relative Weight Filtrations on Completions of Mapping Class Groups

Richard Hain|ArXiv.org|Feb 6, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 23被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、単純閉曲線の系を用いて、曲面の完備化された写像類群に相対的重みフィルトレーションを導入し、ホッジ理論およびガロア理論を用いてその存在を確立する。これらのフィルトレーションがリー代数構造および重みフィルトレーションと整合することを示し、主な結果として $ M_0^\gamma \mathfrak{g}_S $ が放物型部分代数に類似した性質を示す部分代数として同定され、$ g \geq 3 $、$ m > 1 $ の場合に、各成分の次元に関する表現論的境界を用いて $ \mathfrak{g}_{S,D} $ に非自明な相対的重みフィルトレーションを構成する。

ABSTRACT

This paper gives an exposition of relative weight filtrations on completions of mapping class groups associated to a stable degeneration of marked genus g curves. These relative weight filtrations have been constructed using Galois theory (with Matsumoto) and Hodge theory (with Pearlstein and Terasoma). It is shown that the level 0 part of the relative weight filtration is an analogue of a parabolic subalgebra of a Kac-Moody Lie algebra. It is shown that all such subalgebras correspond to equivalence classes of pants decompositions of the surface -- two being equivalent if and only if they determine the same handlebody that the reference surface bounds. One application is to show that handlebody subgroups of mapping class groups contain elements arbitrarily far down the lower central series of Torelli groups. (This result was also obtained independently by Jamie Jorgensen.)

研究の動機と目的

• 曲面の完備化写像類群に、単純閉曲線の系を用いて相対的重みフィルトレーションを構築し、その存在を確立すること。
• デリーニの相対的重みフィルトレーション理論を、完備化写像類群およびそのリー代数の文脈に一般化すること。
• 相対的重みフィルトレーション $ M_\bullet^\gamma $ がリー括弧積および重みフィルトレーション $ W_\bullet $ と整合することを示し、強い正確性および自然性を保証すること。
• $ M_0^\gamma \mathfrak{g}_S $ が半単純リー代数論における放物型部分代数に類似した性質を示す部分代数であることを同定すること。

提案手法

• 離散群の相対的完備化を用いて、$ \mathrm{Sp}(H_1(S)) $ をプロニルポテン群 $ \mathcal{U}_S $ で拡張するプロ代数的群 $ \mathcal{G}_S $ を構成する。
• 可換なディーンツイスト $ \tau_\gamma $ の積の対数を用いて、$ \mathfrak{g}_S $ 内の冪零元 $ N_\gamma $ を定義し、その随伴作用が重みフィルトレーション $ W_\bullet $ を保存することを示す。
• ホッジ理論およびガロア理論の一般的結果を適用し、$ N_\gamma $ に関連する相対的重みフィルトレーション $ M_\bullet^\gamma $ が $ \mathfrak{g}_S $ 上に存在し、リー括弧積と整合することを保証する。
• シェバレーの定理（可 constructible 集合および軌道次元）を用いて、$ \mathrm{Gr}^{W}_{-m} \mathfrak{g}_{S,D} $ 内の共役軌道のザリスキ閉包を分析し、余次元の上限を得る。
• 表現論を用いて、$ \mathrm{Gr}^{M}_2 \mathrm{Gr}^{W}_{-m} \mathfrak{g}_{S,D} $ 内の $ \mathfrak{gl}_g $-既約モジュールを特定し、それぞれ $ m = 2k $ の場合に $ V_{[k,k]} $、$ m = 2k-1 $ の場合に $ V_{[k,k,1]} $ を得る。
• 文献[13, (6.4)]の次元公式を用いて、$ \dim V_{[k,k]} $ および $ \dim V_{[k,k,1]} $ を計算し、$ g \geq 3 $、$ m > 1 $ の場合に軌道閉包の余次元が正であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲面 $ S $ 上の互いに交わらない単純閉曲線の系に関連する、完備化写像類群 $ \mathcal{G}_S $ に相対的重みフィルトレーションが存在するか？
• RQ2 相対的重みフィルトレーション $ M_\bullet^\gamma $ は、リー代数構造および $ \mathfrak{g}_S $ 上の重みフィルトレーション $ W_\bullet $ とどのように作用するか？
• RQ3 $ M_0^\gamma \mathfrak{g}_S $ は、写像類群の文脈において放物型部分代数の自然な類似物であるか？
• RQ4 特に $ m > 1 $ の場合に、表現論的手法を用いて $ \mathrm{Gr}^{M}_2 \mathrm{Gr}^{W}_{-m} \mathfrak{g}_{S,D} $ の次元を下から抑えられるか？
• RQ5 $ \mathrm{Sp}(H) $-軌道の $ M_0^U \mathrm{Gr}^{W}_{-m} \mathfrak{g}_{S,D} $ の $ \mathrm{Gr}^{W}_{-m} \mathfrak{g}_{S,D} $ 内の余次元は何か？また、$ g \geq 3 $ の場合に正であるか？

主な発見

• 相対的重みフィルトレーション $ M_\bullet^\gamma $ は $ \mathfrak{g}_S $ 上に存在し、リー括弧積と整合し、$ M_r^\gamma \mathfrak{g}_S \otimes M_s^\gamma \mathfrak{g}_S \to M_{r+s}^\gamma \mathfrak{g}_S $ を満たす。
• $ M_0^\gamma \mathfrak{g}_S $ は自身の正規化群に等しく、放物型部分代数に類似した自然な類似物である。
• 大二重層分解 $ \mathfrak{g}_S \cong \prod_{m,k} \mathrm{Gr}^{M^\gamma}_k \mathrm{Gr}^W_m \mathfrak{g}_S $ が成り立つ。これは強い構造的分解を示している。
• $ g \geq 3 $ および $ m > 1 $ の場合、$ \mathrm{Gr}^{M}_2 \mathrm{Gr}^{W}_{-m} \mathfrak{g}_{S,D} $ は、それぞれサイズ $ 2k $ および $ 2k+1 $ の分割に対応する $ \mathfrak{gl}_g $-モジュール $ V_{[k,k]} $ および $ V_{[k,k,1]} $ を含む。
• $ \mathrm{Sp}(H) $-軌道の $ M_0^U \mathrm{Gr}^{W}_{-m} \mathfrak{g}_{S,D} $ の $ \mathrm{Gr}^{W}_{-m} \mathfrak{g}_{S,D} $ 内の余次元は、$ \dim \mathrm{Gr}^{M}_2 \mathrm{Gr}^{W}_{-m} \mathfrak{g}_{S,D} - \dim \mathrm{Gr}^{M}_2 \mathfrak{sp}(H) $ で下から抑えられ、この差は $ g \geq 3 $、$ m > 1 $ の場合に正である。
• $ \dim V_{[k,k]} $ および $ \dim V_{[k,k,1]} $ の明示的次元公式が導出され、$ k $ に関して単調増加であることが示され、余次元の下界の正の性質を確認するために用いられる。