[論文レビュー] Geometric Proofs of Some Results of Morita

Richard Hain, David Reed|ArXiv.org|Oct 8, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用数 24

ひとこと要約

この論文は、曲線のモジュライ空間に関するモリタの3つの特徴類に関するコhomological結果について、幾何的証明を提供する。主に $σ_g$、$σ_g[2]$、$σ_g[l]$ の $H^2$ における特徴類の関係に焦点を当てる。第二コホモロジー群 $\Gamma_g$ と曲線のホモロジーの係数をとったもの $H^2(\Gamma_g, H_\mathbb{Z})$ が $\mathbb{Z}/(2g-2)\mathbb{Z}$ に同型であることを示し、普遍曲線の相対的ピカール群を通じて幾何的に実現する。この類がちょうど $2g-2$ の倍数のときのみ消えることを証明する。結果はスペクトル系列、普遍係数定理、およびフランチェッタ予想の解法を用いて得られる。

ABSTRACT

In this note we give geometric formulations and proofs of three results of S. Morita. These results relate certain two dimensional cohomology classes of various moduli spaces of curves. We also give a geometric interpretation of a fourth result of Morita. One motivation of this work is to facilitate the application of these results in our work (in preparation) on the Arakelov geometry of moduli spaces of curves.

研究の動機と目的

• モリタの曲線のモジュライ空間のコホモロジーにおける特徴類に関する結果を、幾何的手段を用いて再証明すること。
• 普遍曲線の相対ピカール群を通じて、コホモロジー類 $H^2(\Gamma_g, H_\mathbb{Z})$ を幾何的に解釈すること。
• $g \geq 3$ に対して、標準的バンドルとレベル構造を用いて、同型 $H^2(\Gamma_g, H_\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}/(2g-2)\mathbb{Z}$ を確立すること。
• このコホモロジー類のレベル $l$ の部分群への制限を分析し、$l$ が奇数のとき $\mathbb{Z}/(2g-2)\mathbb{Z}$、$l$ が偶数かつ正のとき $\mathbb{Z}/(g-1)\mathbb{Z}$ となることを示すこと。

提案手法

• 拡大 $1 \to H_\mathbb{Z} \to \Gamma_g^1 \to \Gamma_g \to 1$ のスペクトル系列を用い、レベル $\geq 4$ のとき $E_2$ で退化することを示し、$H^2(\Gamma_g^1, \mathbb{Q}) \cong \mathbb{Q} \oplus H^2(\Gamma_g, \mathbb{Q}) \oplus H^1(\Gamma_g, H_\mathbb{Q})$ を得る。
• 中心が消去するテクニック（$-I \in \Gamma_1$ を用いて）$g \geq 2$ のとき $H^1(\Gamma_g, H_\mathbb{Q}) = 0$ を証明する。
• 相対ピカール群 $\operatorname{Pic}^d_{\mathcal{M}_g} \mathcal{C}_g$ を通じて、群準同型 $\epsilon: \mathbb{Z} \to H^2(\Gamma_g, H_\mathbb{Z})$ を構成する。
• 標準的バンドルを $\operatorname{Pic}^{2g-2}_{\mathcal{M}_g} \mathcal{C}_g$ の切断として用い、$\epsilon$ が $\mathbb{Z}/(2g-2)\mathbb{Z}$ を通して因数分解されることを示す。
• フランチェッタ予想の解法を用いて、$\epsilon(d) = 0$ となるのは $d$ が $2g-2$ の倍数のときのみであることを示し、単射性を証明する。
• 普遍係数定理とジョンソンの定理を用い、$H^1(\Gamma_g, H_\mathbb{Z})$ が自明であることを示し、同型性を支持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コホモロジー類 $H^2(\Gamma_g, H_\mathbb{Z})$ の幾何的解釈は何か？
• RQ2 普遍曲線の相対ピカール群は、どのようにしてコホモロジー類 $H^2(\Gamma_g, H_\mathbb{Z})$ を実現するか？
• RQ3 なぜ $H^2(\Gamma_g, H_\mathbb{Z})$ のレベル $l$ の部分群への制限が、$l$ が奇数のとき $\mathbb{Z}/(2g-2)\mathbb{Z}$、偶数かつ正のとき $\mathbb{Z}/(g-1)\mathbb{Z}$ となるのか？
• RQ4 標準的バンドルは、$H^2(\Gamma_g, H_\mathbb{Z})$ のコホモロジー類の位数を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ5 レベル $\geq 4$ の部分群に対して、スペクトル系列が $E_2$ で退化することは、$H^2(\Gamma_g^1, \mathbb{Q})$ の計算をどのように支援するか？

主な発見

• $g \geq 3$ のすべての $g$ に対して、第二コホモロジー群 $H^2(\Gamma_g, H_\mathbb{Z})$ は $\mathbb{Z}/(2g-2)\mathbb{Z}$ に同型である。
• この同型は、相対ピカール群 $\operatorname{Pic}^d_{\mathcal{M}_g} \mathcal{C}_g$ を通じて定義される写像 $\epsilon: \mathbb{Z} \to H^2(\Gamma_g, H_\mathbb{Z})$ を用いて幾何的に実現される。
• 類 $\epsilon(d)$ が消えるのは $d$ が $2g-2$ の倍数のときであり、これはフランチェッタ予想と $H^1(\Gamma_g, H_\mathbb{Z})$ の自明性の両方を用いて示される。
• 制限写像 $H^2(\Gamma_g, H_\mathbb{Z}) \to H^2(\Gamma_g[l], H_\mathbb{Z})$ の像は、$l$ が奇数のとき $\mathbb{Z}/(2g-2)\mathbb{Z}$、$l$ が偶数かつ正のとき $\mathbb{Z}/(g-1)\mathbb{Z}$ である。
• 拡大 $1 \to H_\mathbb{Z} \to \Gamma_g^1 \to \Gamma_g \to 1$ のスペクトル系列は、レベル $\geq 4$ のとき $E_2$ で退化し、$g \geq 2$ のとき $H^1(\Gamma_g, H_\mathbb{Q}) = 0$ を示す。
• 標準的バンドルは $\operatorname{Pic}^{2g-2}_{\mathcal{M}_g} \mathcal{C}_g$ の切断を提供し、これにより準同型 $\epsilon$ が $\mathbb{Z}/(2g-2)\mathbb{Z}$ を通して因数分解される。