[論文レビュー] Relatively dominated representations

Feng Zhu|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 33被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、幾何的ファイニテンスの高ランク版としての相対的支配表現を導入し、相対的双曲的群へのAnosov表現の一般化を行う。この表現が群の相対的双曲的性を示し、適切に定義された極限写像を誘導し、相対的RCAや幾何的ファイニテンスな holonomy といった先行研究の概念と統合されることを証明する。

ABSTRACT

Anosov representations give a higher-rank analogue of convex cocompactness in a rank-one Lie group which shares many of its good geometric and dynamical properties; geometric finiteness in rank one may be seen as a controlled weakening of convex cocompactness to allow for isolated failures of hyperbolicity. We introduce relatively dominated representations as a relativization of Anosov representations, or in other words a higher-rank analogue of geometric finiteness. We prove that groups admitting relatively dominated representations must be relatively hyperbolic, that these representations induce limit maps with good properties, provide examples, and draw connections to work of Kapovich--Leeb which also introduces higher-rank analogues of geometric finiteness.

研究の動機と目的

• 周辺部分群に対する支配の概念を導入することで、Anosov表現を相対的設定に一般化すること。
• 相対的支配表現が群の相対的双曲的性を示すことを確立し、古典的Anosov表現における双曲的性の結果を拡張すること。
• Bowditch境界から射影空間およびその双対への連続的かつ-equivariantで、横断的な極限写像を構成すること。
• 先行研究、特にKapovich–Leebの相対的RCA条件と新しい概念を結びつけ、弱い仮定の下で同値性を示すこと。
• 相対的双曲的群の文脈における幾何的ファイニテンスの高ランク版のフレームワークを提供すること。

提案手法

• 周辺部分群の族に対して、特異値比を用いて1-支配表現を定義する：すべての $\gamma \in \Gamma$ に対して $\sigma_1/\sigma_2(\rho(\gamma)) \geq C e^{\mu|\gamma|_c}$。
• GromovおよびMineyevの仕事に基づき、$(\Gamma, \mathcal{P})$ に関連するカスプ付き空間 $X$ から導かれる修正された語長 $|\cdot|_c$ を用いる。
• 周辺部分群に技術的条件（定義4.2）を課し、それらの像が放物的であり、極限におけるCartan射影がうまく振る舞うように保証する。
• QTZ19の一般化されたOseledets定理を用いて特異値の成長を制御し、一様な収縮性質を証明する。
• 表現の力学を用いて、極限写像 $\xi: \partial(\Gamma, \mathcal{P}) \to \mathbb{P}(\mathbb{R}^d)$ および $\xi^*: \partial(\Gamma, \mathcal{P}) \to \mathbb{P}(\mathbb{R}^d)^*$ を構成する。
• 作用素ノルムおよび部分空間間の角度に関する反復的推定を用いて、不安定部分空間と安定部分空間の間の角度の一様な制御を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Anosov表現の概念を、相対的双曲的群の文脈に一般化することは可能か？ その際、重要な幾何的・力学的性質が保たれるか？
• RQ2 周辺部分群に対して1-支配的である表現は、群がそれらに関して相対的双曲的であることを示唆するか？
• RQ3 相対的支配表現は、Bowditch境界から射影空間への連続的かつ-equivariantで横断的な極限写像を誘導するか？
• RQ4 相対的支配表現はKapovich–Leebの相対的RCA表現の概念とどのように関係するか？
• RQ5 周辺部分群が表現のもとでうまく振る舞うための条件は何か？ 特に、Cartan射影および放物的構造の観点から。

主な発見

• もし $\rho: \Gamma \to \mathrm{GL}(d,\mathbb{R})$ が $\mathcal{P}$ に関して1-支配的であり、$\Gamma$ に非周辺的要素が含まれるならば、$\Gamma$ は $\mathcal{P}$ に関して双曲的である。
• $\rho$ は、$\Gamma$-equivariantで連続的であり、横断的かつ動的性質を保つ、明確に定義された極限写像 $\xi: \partial(\Gamma, \mathcal{P}) \to \mathbb{P}(\mathbb{R}^d)$ および $\xi^*: \partial(\Gamma, \mathcal{P}) \to \mathbb{P}(\mathbb{R}^d)^*$ を誘導する。
• 不安定部分空間 $\tilde{U}(k,nN)$ と安定部分空間 $E^s(k)$ の間の角度は、$C$, $\mu$, および $\mu'$ のみに依存する正の定数で一様に下から抑えられ、明示的な下界 $\geq \frac{2}{3}(3e)^{-2r} \exp\left(-\frac{3/2}{1-e^{-\mu}}\right) C^{-(1+2r)}$ を持つ。
• 相対的支配表現は離散的かつ単射であり、非周辺的要素を近接行列に写す。
• $\Gamma \to \mathrm{GL}(d,\mathbb{R})$ の軌道写像は、相対的ケイリー図形距離に関して準等長埋め込みである。
• もし $\rho$ が相対的支配的であれば、$\rho(\Gamma)$ は均一に正則かつ歪曲のない周辺部分群を備えた相対的RCAである。Kapovich–Leebの枠組みと強い関係を確立する。