[論文レビュー] Relativizing characterizations of Anosov subgroups, I

Michael Kapovich, Bernhard Leeb|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 20被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、半単純リー群内のアノソフ部分群の相対的特徴づけを導入し、研究する。これは、古典的なアノソフおよび幾何的に有限な部分群の理論を相対的に双曲的な設定へと拡張するものである。相対的にモース的、相対的にフィンスラー直線的、相対的に漸近的に埋め込まれた部分群について、力学的条件、粗い幾何的条件、境界への埋め込み条件の間の同値性を確立し、高ランクの対称空間へと古典的結果を一般化する。

ABSTRACT

We propose several common extensions of the classes of Anosov subgroups and geometrically finite Kleinian groups among discrete subgroups of semisimple Lie groups. We relativize various dynamical and coarse geometric characterizations of Anosov subgroups given in our earlier work, extending the class from intrinsically hyperbolic to relatively hyperbolic subgroups. We prove implications and equivalences between the various relativizations.

研究の動機と目的

• 内在的に双曲的でない群に限らないアノソフ部分群の理論を、半単純リー群内の相対的に双曲的な部分群へと拡張すること。
• 相対的特徴づけを通じて、アノソフ部分群のクラスと幾何的に有限なクラインィアン群のクラスを統一すること。
• ビーディル＝マスクィットの力学的条件およびモースの粗い幾何的特徴づけを、相対的に双曲的な設定へ一般化すること。
• 高ランクの対称空間における、さまざまな相対的条件（例えば、相対的にモース的、相対的にフィンスラー直線的、相対的に漸近的に埋め込まれた）の同値性を確立すること。
• 凸コンパクトでないが、周辺構造に関しては制御された力学的・幾何的性質を示す離散部分群を研究するための枠組みを提供すること。

提案手法

• 理想境界における収束作用の文脈で、一般化されたビーディル＝マスクィット条件を用いて、相対的に漸近的に埋め込まれた部分群の概念を導入する。
• 対称空間へのクアイジアイソメトリック埋め込みにおける準線形の安定性を用いて、相対的にモース的部分群を定義する。
• 対称空間におけるフィンスラー直線的写像およびパスを導入し、粗い幾何学における測地線追跡を一般化する。
• 無限遠における漸近的挙動を通じて、境界写像とフィンスラー直線性の対応関係を確立する。
• 粗い幾何学的技術、特にモース的準線形、ウェイル錐の連続性を用いて、力学的条件と幾何的条件を関連付ける。
• マーガリス型の議論およびリー代数におけるジョルダン分解を用いて、群の要素のユニポテンツ部および半単純部を解析し、安定化部分群の有限性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、高ランクの半単純リー群内の相対的に双曲的な部分群について、アノソフ部分群の力学的および幾何的特徴づけを相対化できるか？
• RQ2 対称空間において、相対的にモース的部分群と相対的にフィンスラー直線的部分群の関係は何か？
• RQ3 相対化された条件（例えば、相対的に漸近的に埋め込まれた、相対的にRCA）は、ランク1において古典的な幾何的有限性とどの程度一致するか？
• RQ4 相対的にフィンスラー直線的部分群に関連する境界写像を構成できるか？また、そのような写像が一意に定まる条件は何か？
• RQ5 相対的に双曲的な半単純リー群の部分群が、その力学的性質および粗い幾何学から、どのような構造的性質（例えば、有限指数、閉性）を引き継ぐのか？

主な発見

• 相対的ビーディル＝マスクィット条件（相対的に漸近的に埋め込まれた）は、相対的RCA条件と同値であり、ヤマンによる相対的に双曲的群の特徴づけを一般化する。
• ランク1では、相対化された条件は古典的な幾何的有限性と一致する。これは、補題9.2で示されている。
• 相対的にモース的部分群は、相対的にフィンスラー直線的部分群と同値であり、粗い幾何学的・幾何的対応関係を確立する。
• 非等長的フィンスラー直線的写像の粗い幾何学的解析を通じて、相対的にフィンスラー直線的から相対的に漸近的に埋め込まれた部分群への含意関係を確立する。
• 相対的に双曲的部分群とユニポテンツ正規部分群が生成する群の単位成分は、ユニポテンツ部分群の単位成分と一致し、積の閉性を示唆する。
• 相対的に双曲的な離散部分群の有限指数部分群は、その随伴作用が有理格子を保存するように選べる。これにより、算術的およびジョルダン分解の技法を適用可能にする。