[論文レビュー] Remark on a result of Bourgain on poissonian pair correlation

Gerhard Larcher|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2017

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、正の上密度をもつ整数列 $(a_n)$ の広いクラス（例えば、厳密に増加する列など）に対して、任意の無理数 $α$ に対して、列 ${ a_n\alpha}$ はポisson的対相関を示さないことを証明する。この結果は、加法的エネルギー $E(A_N) = \Omega(N^3)$ の場合に、そのような対相関が成立しないという予想を支持しており、バーグの結果（正の測度をもつ $α$ の集合に対して非ポアソン的相関を示した）を、すべての $α$ に拡張するものである。

ABSTRACT

We show for a class of sequences $(a_n)_{n\geq 1}$ of distinct positive integers, that for no $α$ the sequence $(\left\{a_n α ight\})_{n \geq 1}$ does have Poissonian pair correlation. This class contains for example all strictly increasing integer sequences with positive upper density. This result motivates us to state a certain conjecture on Poissonian pair correlation which would be a significantly stronger version of a result of Jean Bourgain.

研究の動機と目的

• 加法的エネルギー $E(A_N) = \Omega(N^3)$ の場合に、これまでほとんどすべての $\u03b1$ に対してポアソン的対相関が成立しないことが知られていたが、その性質がすべての $\u03b1$ に対して成り立つかどうかを調査すること。
• バーグの結果（正の測度をもつ $\u03b1$ の集合に対して非ポアソン的相関を示した）を、$a_n$ に強い構造的条件を課した場合に、すべての $\u03b1$ に拡張すること。
• 加法的エネルギー $E(A_N) = \Omega(N^3)$ ならば、いかなる $\u03b1$ に対してもポアソン的対相関が成立しないという予想に裏付けを与えること。
• バログ＝シュメレディ＝ガウザーの定理およびフライマンの定理を用いて、強い線形部分構造をもつ列を分析し、対相関関数の定量的下界を導出すること。
• このような列に対して、対相関関数 $R_N(s)$ が $2s$ に収束しないことを示し、ポアソン的条件に反することを明らかにすること。

提案手法

• 加法的エネルギー $E(A_N) = \Omega(N^3) \iff \sum_v A_N^2(v) = \Omega(N^3)$ の同値性を用いる。ここで $A_N(v)$ は差 $a_i - a_j = v$ の個数を数える。
• バログ＝シュメレディ＝ガウザーの定理を適用し、$|A_0^{(i)} + A_0^{(i)}| \leq C|A_0^{(i)}|$ を満たす大きな部分集合 $A_0^{(i)} \subset \{a_n\}_{n \leq N_i}$ を抽出する。
• フライマンの定理を用いて、このような集合がサイズ $O(N_i)$ の $d$ 次元等差数列に含まれることを示し、線形構造を示す。
• 普遍定数 $c, K$ のみに依存する有限集合 $\mathcal{E}$ を構成し、臨界スケールでの対相関をテストする。
• 対相関関数 $R_N(s) = \frac{1}{N}\#\{i \neq j : \|x_i - x_j\| \leq s/N\}$ を分析し、$2s$ への収束を破る下界を導出する。
• dyadic分割における区間数え上げと不均一性の議論を用い、ある $s_1, s_2$ に対して $R_N(s_2) - R_N(s_1) \geq 4(s_2 - s_1)$ が成り立つことを示し、ポアソン的挙動に反することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 加法的エネルギー $E(A_N) = \Omega(N^3)$ ならば、$\u007B a_n\alpha}$ がすべての $\u03b1$ に対してポアソン的対相関を示さない、という主張は正しいか？（ほとんどすべての $\u03b1$ ではなく、すべての $\u03b1$ に対して成り立つか。）
• RQ2 正の上密度をもつ列のクラスが、すべての $\u03b1$ に対してポアソン的対相関を示さないことを示せるか？
• RQ3 （例：加法的エネルギー、二重化定数など）どのような構造的性質が、ポアソン的対相関を防ぐのに十分か？
• RQ4 定量的下界 $R_N(s)$ を導出し、ポアソン的極限 $2s$ と矛盾させることができるか？
• RQ5 構造的パrameterにのみ依存する有限個の $s$-値の集合 $\mathcal{E}$ が存在し、$R_N(s)$ が $2s$ に収束しないようにできるか？

主な発見

• 任意の相異なる正の整数列 $\u007B a_n\u007D$ に対して、上密度が正であれば、任意の無理数 $\u03b1$ に対して $\u007B a_n\alpha}$ はポアソン的対相関を示さない。
• この結果は、例外的 $\u03b1$ の正の測度をもつ集合を除いて成立するバーグの結果よりも強く、すべての $\u03b1$ に対して成立する。
• 証明は、$|A_0^{(i)}| \geq cN_i$ かつ $|A_0^{(i)} + A_0^{(i)}| \leq C|A_0^{(i)}|$ を満たす部分集合 $A_0^{(i)} \subset \{a_n\}_{n \leq N_i}$ の存在に依存し、フライマンの定理により線形構造が導かれる。
• 普遍定数にのみ依存する有限集合 $\mathcal{E}$ を構成し、ある $s_1, s_2 \in \mathcal{E}$ に対して $R_N(s_2) - R_N(s_1) \geq 4(s_2 - s_1)$ が成り立つ。これはポアソン的極限 $2(s_2 - s_1)$ に反する。
• $R_N(s)$ は特定の $s$ に対して $2s$ に収束しない。具体的には $s = \frac{2^6}{c}$、$s = 1$、または $s \in \mathcal{D}$ や $\mathcal{E}$ の場合、持続的な不均一性のためである。
• ある $s$ に対して、下界 $R_N(s) \geq \frac{c^5}{2^{24}K^2}b > 4$ が導かれる。これは期待される $2s$ の極限と矛盾し、非収束を証明する。