[論文レビュー] Remarks about the existence of conformable derivatives and some consequences

Hristo Kiskinov, Milena Petkova+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2019

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 27被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、任意の点 t ≠ a において、関数が t の右近傍で α-微分可能である限り、任意の α ∈ (0,1) の順序の適合微分 T^α_a f(t) がその点における標準的一階微分に等しくなることを示している。主な貢献は、適合微分が、下端点 a を除き、通常の微分方程式理論を古典的一階 ODE に拡張しないことである。すなわち、適合微分は、一般に通常の微分に還元され、唯一下端点 a でのみ異なる可能性がある。

ABSTRACT

The aim of the present paper is to make some notes to the newly introduced conformable derivative as a type local fractional derivative and to present a surprising result about the relation between the conformable derivatives and the usual integer order derivatives.

研究の動機と目的

• 適合微分と古典的一階微分の間の数学的関係を明確にすること。
• 適合微分が標準的微積分を超えて新たな解析的ツールを提供するかを調査すること。
• この等価性が、適合微分を含む初期値問題の解法に与える影響を検討すること。
• 適合微分が現実世界現象のモデル化や安定性解析において利点を提供するかを特定すること。
• 適合微分の枠組みが、新たな数学的構造を導入するのか、それとも既存の理論を再表現するにとどまるのかを評価すること。

提案手法

• 点 t > a における α ∈ (0,1) 順序の適合微分を、増分 θ の変換を含む極限によって定義する。
• f が t で微分可能である限り、T^α_a f(t) = (t−a)^{1−α} f'(t) が t > a に対して成り立つことを確立する。
• f が t ≠ a で α-微分可能であることと、f が古典的意味で t で微分可能であることとは同値であることを証明する。
• この等価性を用いて、適合微分を含む初期値問題（IVP）を、弱い特異係数を伴う古典的一階 ODE に等価に変換する。
• 得られた ODE が、古典的解析でよく知られたボルテラ積分方程式に等価であることを示す。
• 下端点 a における適合微分の振る舞いを、内部点とは異なる定義の極限に基づいて分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 t ≠ a における α ∈ (0,1) 順序の適合微分が、古典的一階微分と等価となる条件は何か？
• RQ2 下端点 a における適合微分と古典的微分の関係は何か？
• RQ3 適合微分を含む初期値問題は、等価な古典的一階初期値問題に還元可能か？
• RQ4 適合微分の枠組みは、古典的微積分と比較して微分方程式を解く際に新たな数学的利点を提供するか？
• RQ5 適合微分が、標準的微分では得られない独自の洞察を提供する物理的または数学的モデルは存在するか？

主な発見

• 任意の t ≠ a に対して、適合微分 T^α_a f(t) の存在は、古典的一階微分 f'(t) の存在と同値である。
• すべての t > a に対して、T^α_a f(t) = (t−a)^{1−α} f'(t) が成り立ち、古典的微分との明確な解析的関係を確立する。
• 初期値問題 T^α_a x(t) = F(t, x(t)) かつ x(a) = x_a は、同じ初期条件をもつ古典的一階 ODE x'(t) = (t−a)^{α−1} F(t, x(t)) と等価である。
• この等価性により、適合微分方程式の解は、すでに可積分特異性を伴う ODE の理論で十分にカバーされていることが示される。
• 適合微分は、分数マクロスコピック微積分の範囲を拡張するのではなく、古典的一階 ODE に他ならない。
• 適合微分が古典的微分と異なる唯一の点は、下端点 a であり、ここでの定義は導関数の右極限を含む。