[論文レビュー] Remarks on 1-D Euler Equations with Time-Decayed Damping

Xinghong Pan|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2015

Navier-Stokes equation solutions参考文献 14被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、時間に依存する減衰項 $\mu/(1+t)$ を持つ1次元断熱Euler方程式を検討し、$\mu > 2$ のとき時間重み付きエネルギー推定を用いて、滑らかな全局解が存在することを証明している。一方、適切な初期データ条件下では $0 \leq \mu \leq 2$ のとき解は有限時刻で爆発する。臨界閾値 $\mu = 2$ が、全局存在と有限時刻での爆発を分ける。

ABSTRACT

We study the 1-d isentropic Euler equations with time-decayed damping \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} &\partial_t ρ+\partial_x(ρu)=0, \\ &\partial_t(ρu)+ \partial_x(ρu^2)+\partial_xp(ρ)=-\fracμ{1+t}ρu,\\ &ρ|_{t=0}=1+\varepsilonρ_0(x),u|_{t=0}=\varepsilon u_0(x). \end{aligned} ight. onumber \end{equation} This work is inspired by a recent work of F. Hou, I. Witt and H.C. Yin \cite{Hou01}. In \cite{Hou01}, they proved a global existence and blow-up result of 3-d irrotational Euler flow with time-dependent damping. In the 1-d case, we will prove a different result when the damping decays of order $-1$ with respect to the time $t$. More precisely, when $μ>2$, we prove the global existence of the 1-d Euler system. While when $0\leqμ\leq2 $, we will prove the blow up of $C^1$ solutions.

研究の動機と目的

• 時間に依存する減衰項 $\mu/(1+t)$ を持つ1次元圧縮性Euler方程式において、全局存在と有限時刻での爆発を分ける臨界減衰強度 $\mu$ を特定すること。
• 最近得られた3次元における時間に依存する減衰の結果を1次元に拡張し、臨界閾値が異なることを見ること。
• 初期データが小さい場合の長期間における解の挙動を分析すること。
• 精密なエネルギー法とテスト関数解析を用いて、爆発のための初期データに関する鋭い条件を確立すること。

提案手法

• WangとYang（2009）が提案した時間重み付きエネルギー推定フレームワークを、時間に依存する減衰項下でのSobolevノルムの成長を制御するために適応する。
• 解の減衰と成長の挙動を捉えるために、$ (1+t)^2 $ で重み付けされた $\rho - 1$ および $u$ の $L^2$ ノルムを含む修正エネルギー関数 $F(t)$ を導入する。
• Sideris（1985）のテスト関数法を1次元の減衰付きEuler方程式に適応し、$F(t)$ に対する微分不等式を導出する。
• 部分積分とGronwall型推定を適用し、$F(t)$ が任意の多項式よりも速く成長することを示し、$\mu \leq 2$ のとき有限時刻での爆発を示す。
• 非線形圧力項 $p(\rho) = \frac{1}{\gamma}\rho^\gamma$ のエネルギー推定における制御に、テイラー展開とヤングの不等式を用いる。
• 大きな $t$ に対して微分不等式 $F''(t) \geq C\varepsilon^2 B_0^2 (t+1)^{-2} \ln(t+1) F(t)$ を導出し、積分と指数的下界を用いて有限時刻での爆発を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間に依存する減衰項 $\mu/(1+t)$ を持つ1次元Euler方程式において、全局存在と有限時刻での爆発を分ける臨界値 $\mu$ は何か？
• RQ2 時間に依存する減衰の速度が $-1$ である場合、定数減衰と比較して滑らかな解の長期的挙動にどのような影響を与えるか？
• RQ3 3次元Euler方程式における時間に依存する減衰付きの爆発メカニズムを、類似した初期データ条件下の1次元に適応できるか？
• RQ4 初期データの空間的台と $q^0(r)$、$q^1(r)$ の符号が解の寿命に果たす役割は何か？
• RQ5 圧力法則 $p(\rho) = \frac{1}{\gamma}\rho^\gamma$ の $\gamma$ の選択が、爆発または全局存在の結果に与える影響は何か？

主な発見

• $\mu > 2$ のとき、$m \geq 3$ に対して $H^m(\mathbb{R})$ 内で古典的解が全局的に存在し、時間重み付きエネルギーノルムが $C\varepsilon^2(\|\rho_0\|_m^2 + \|u_0\|_m^2)$ で有界であることを証明している。
• $0 \leq \mu \leq 2$ のとき、$q^0(r) > 0$ かつ $R_0 < r < R$ で $q^1(r) \geq 0$ の条件下では、$C^1$ 解の寿命 $T_\varepsilon$ は有限である。
• 爆発は微分不等式 $F''(t) \geq C\varepsilon^2 B_0^2 (t+1)^{-2} \ln(t+1) F(t)$ を通じて示され、$t$ が大きいとき $F(t) \geq C\varepsilon^2 B_0^2 (t+1)^8$ が成り立ち、有限時刻での爆発を示唆する。
• 寿命の上界は $T_\varepsilon \leq C e^{C / (\varepsilon^2 B_0^2)}$ を満たし、ここで $B_0 = \int_R^\infty (x-R)^2 \rho_0(x) dx > 0$ である。これは $\varepsilon$ が小さい場合に極めて速い爆発を示している。
• 臨界閾値 $\mu = 2$ が、$\mu > 2$ では全局存在、$\mu \leq 2$ では有限時刻での爆発を分ける。これは3次元の場合とは異なり、閾値が異なる。
• エネルギー推定における非線形項の制御に $\varphi_\gamma(\rho)$ を用いることで、圧力法則における一般の $\gamma > 1$ に対してもこの手法が頑健であることが示された。