[論文レビュー] Remarks on Blow-up of Smooth Solutions to the Compressible Fluid with Constant and Degenerate Viscosities

Quansen Jiu, Yuexun Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2013

Navier-Stokes equation solutions参考文献 34被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、任意の次元において、定常および退化粘性を有する圧縮性ナビエ＝ストークス方程式およびオイラー方程式の滑らかな解の爆発を、初期データにきわめて弱い条件のもとで確立する。統一的なエネルギー型手法と精緻な微分不等式を用いて、コンパクトな台を持たない、または真空初期データを仮定しない状況でも、有限時間での爆発が生じることを証明し、全モデルおよび等エントロピー型モデルの両方における正確な爆発時刻の推定値を提供する。

ABSTRACT

In this paper, we will show the blow-up of smooth solutions to the Cauchy problem for the full compressible Navier-Stokes equations and isentropic compressible Navier-Stokes equations with constant and degenerate viscosities in arbitrary dimensions under some restrictions on the initial data. In particular, the results hold true for the full compressible Euler equations and isentropic compressible Euler equations and the blow-up time can be computed in a more precise way. It is not required that the initial data has compact support or contain vacuum in any finite regions. Moreover, a simplified and unified proof on the blow-up results to the classical solutions of the full compressible Navier-Stokes equations without heat conduction by Xin \cite{Xin} and with heat conduction by Cho-Bin \cite{CJ} will be given.

研究の動機と目的

• 任意の空間次元における定常および退化粘性を有する圧縮性ナビエ＝ストークス方程式およびオイラー方程式の古典的解の爆発を確立すること。
• 初期データがコンパクトな台を持つことや、領域内で真空が存在することを仮定する制限的な仮定を排除すること。
• 熱伝導を伴う・伴わない両方の全圧縮性ナビエ＝ストークス方程式における爆発結果を、簡素化され統一的な証明で行うこと。
• 等エントロピーおよび非等エントロピーの場合の両方において、爆発時刻の正確な推定値を導出すること。
• 密度に依存する粘性係数を有するモデル、特に浅水域（サン・ヴェナント）モデルへの分析を拡張すること。

提案手法

• エネルギー推定と微分不等式を用いて、潜在的エネルギー関数 $ I(t) $ 及びその時間発展を導出する。
• 速度の重み付き $ L^2 $-ノルム $ J(t) $ を用いた関数 $ IJ(t) = I(t) \cdot J(t) $ を用いた修正されたエネルギー法を適用する。
• 時間に依存する係数を有する次の形の臨界的微分不等式を実装する：$ \frac{d}{dt}IJ(t) \leq C_1(t) IJ(t) + C_2(t) IJ(t)^{\frac{\alpha-1}{\gamma-1}} $。
• 時間重み付き指数項を有するグローワル型不等式を用いて $ IJ(t) $ の成長を制御し、係数が負に変わった場合に爆発が生じることを示す。
• 微分不等式における係数の減衰を保証するため、$ \gamma < 1 + \frac{2}{n} $ および $ \frac{\gamma+1}{2} < \alpha \leq \gamma $ の条件を適用する。
• 矛盾による証明により、$ I(t) \to 0 $ が過度に速く減少する場合、解は特異的になる必要があることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定常および退化粘性を有する圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の滑らかな解が、有限時間内に爆発する条件は何か？
• RQ2 初期データがコンパクトな台を持たず、かつ真空が存在しない条件でも爆発を証明できるか？
• RQ3 等エントロピー型および全圧縮性モデルにおける爆発時刻をより正確に推定するにはどうすればよいか？
• RQ4 熱伝導を伴う・伴わない両方の全圧縮性ナビエ＝ストークス方程式における爆発結果を、統一的な証明で構築できるか？
• RQ5 粘性係数の選択（定常対密度に依存する）が滑らかな解の爆発挙動に果たす役割は何か？

主な発見

• 熱伝導を伴う定常粘性を有する全圧縮性ナビエ＝ストークス方程式においても、初期データがコンパクトな台を持たず、真空を含まない場合でも滑らかな解の爆発が生じる。
• 等エントロピー型の場合、$ \gamma < 1 + \frac{2}{n} $ の下で、初期データにきわめて弱い条件のもとで解は有限時間内に爆発する。
• 1次元では $ I(t) \leq C (1+t)^{1-\gamma} \exp\left(-C_{30}/(1+t)^{C_{28}}\right) $、$ n \geq 2 $ の場合では $ I(t) \leq C (1+t)^{-n(\gamma-1)} \exp\left(-C_{27}/(1+t)^{C_{28}}\right) $ と推定され、急激な減衰が特異性を示唆する。
• 本手法により、熱伝導を伴う・伴わない両方の全圧縮性ナビエ＝ストークス方程式における爆発結果を、簡素化され統一的な証明で得ることができる。
• 爆発結果は圧縮性オイラー方程式および等エントロピー型オイラー方程式へも拡張され、明示的な爆発時刻の推定値が得られる。
• 粘性係数が $ h(\rho) = \rho^\alpha $、$ g(\rho) = (\alpha-1)\rho^\alpha $、$ \alpha > 1 - \frac{1}{n} $ である退化粘性の場合にも解析が拡張され、浅水域モデルは特別な場合として含まれる。