[論文レビュー] Remarks on curve classes on rationally connected varieties

Claire Voisin|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、複素数体上の有理的連結な複素射影的多様体における次数 $2n-2$ の整数ホッジ類の消滅を調査し、有限体上の曲面上の次数2のテート類に関するテート予想が成り立つならば、整数ホッジ予想の不成立を測る群 $Z^{2n-2}(X)$ が、すべての有理的連結多様体 $X$ に対して消えることを示している。この議論は、変形不変性、$l$-進コホモロジー、およびショーンの定理を用いた有限体への還元に基づいている。

ABSTRACT

We study for rationally connected varieties $X$ the group of degree 2 integral homology classes on $X$ modulo those which are algebraic. We show that the Tate conjecture for divisor classes on surfaces defined over finite fields implies that this group is trivial for any rationally connected variety.

研究の動機と目的

• 整数ホッジ予想の不成立を測る群 $Z^{2n-2}(X)$ が、複素数体上の有理的連結な複素射影多様体に対して消えるかどうかを調査すること。
• 複素数体上での $Z^{2n-2}(X)$ の消滅と、有限体上の滑らかで射影的な曲面上の次数2テート類に関するテート予想との間に、関係を確立すること。
• 複素数体上の有理的連結多様体における整数ホッジ類の消滅問題を、変形不変性および還元技術を用いて、数体および有限体上の問題に還元すること。

提案手法

• 有理的連結多様体の族が複素数体上で定義される場合、$Z^{2n-2}(X)$ が局所的に変形不変であることを証明し、問題を数体上で定義された多様体に還元する。
• アーチンの比較同型を用いて、複素数体上の特異コホモロジーと数体上の $l$-進コホモロジーを関係づけ、$Z^{2n-2}(X) \otimes \mathbb{Z}_l$ をエタール版 $Z^{2n-2}_{\text{et}}(X)_l$ と同一視する。
• 素数を法としての還元を適用し、数体上の多様体のコホモロジーと有限体上の多様体のコホモロジーを関係づけ、問題を正標数へと移行する。
• ショーンの定理を活用する。この定理は、有限体上の多様体に整数的テート類が存在する場合、テート予想が曲面上の次数2テート類に関して成り立つ限り、その類が曲面上の類のプッシュフォワードとして得られることを述べている。
• 有理的連結多様体では、$H^{2n-2}(X,\mathbb{Q})$ 上のホッジ構造が自明であるため、$Z^{2n-2}(X) = H^{2n-2}(X,\mathbb{Z}) / H^{2n-2}(X,\mathbb{Z})_{\text{alg}}$ と簡略化され、標的群が単純化されることを用いる。
• リーマンの$(1,1)$類に関する定理とハード・リーマンの定理を適用し、問題を曲面上の次数2類の代数的性に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の滑らかで有理的連結な複素射影多様体 $X$（次元 $n$）に対して、群 $Z^{2n-2}(X)$ は消えるか？
• RQ2 複素数体上での $Z^{2n-2}(X)$ の消滅は、有限体上の滑らかで射影的な曲面上の次数2テート類に関するテート予想に還元可能か？
• RQ3 数体上で定義された有理的連結多様体の $l$-進コホモロジーは、複素数体上での整数ホッジ類をどの程度反映しているか？

主な発見

• 有限体上の曲面上の次数2テート類に関するテート予想が成り立つ限り、任意の滑らかで有理的連結な多様体 $X$ に対して、群 $Z^{2n-2}(X)$ は複素数体上に消える。
• $Z^{2n-2}(X)$ は、複素数体上の有理的連結族に対して局所的に変形不変であるため、あるファイバーで消えるならば、近傍内のすべてのファイバーでも消える。
• 複素数体上に定義された有理的連結多様体 $X$ に対して、アーチンの比較定理により、$Z^{2n-2}(X)$ は $\mathbb{Z}_l$ とテンソル積を取ることで $Z^{2n-2}_{\text{et}}(X)_l$ と同型である。
• 数体上で定義された $X$ に対して、$Z^{2n-2}_{\text{et}}(X)_l$ の消滅は、素数を法とした還元 $X_p$ における $Z^{2n-2}_{\text{et}}(X_p)_l$ の消滅によって示唆される。
• ショーンの定理により、有限体上の多様体に整数的テート類が存在する場合、テート予想が曲面上の次数2テート類に関して成り立つ限り、その類は曲面上の次数2テート類のプッシュフォワードとして得られる。
• この結果により、テート予想が曲面上で成り立つ限り、複素数体上の有理的連結多様体において、整数ホッジ予想は次数 $2n-2$ で成立する。