[論文レビュー] Remarks on invariants of hamiltonian loops

Egor Shelukhin|ArXiv.org|May 11, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、複素射影空間 $\mathbb{C}P^n$ 上のハミルトニアンループに対して、非線形マスロフ指数とカルビ・ウインスタイン不変量の比例関係を確立し、ギヴェンタルの予想を裏付ける。さらに、ファノケーラー多様体上での混合作用-マスロフ不変量とフタキ不変量の比例関係を証明し、重心を用いたモーメント多面体を通じてトーリック多様体の一般化作用-マスロフ不変量を計算し、質量線形関数への応用を示す。

ABSTRACT

In this note the interrelations between several natural morphisms on the $π_1$ of groups of Hamiltonian diffeomorphisms are investigated. As an application, the equality of the (non-linear) Maslov index of loops of quantomorphisms of prequantizations of $\C P^n$ and the Calabi-Weinstein invariant is shown, settling affirmatively a conjecture by A. Givental. We also prove the proportionality of the mixed action-Maslov morphism and the Futaki invariant on loops of Hamiltonian biholomorphisms of Fano Kahler manifolds, as suggested by C. Woodward. Finally, a family of generalized action-Maslov invariants is computed for toric manifolds via barycenters of their moment polytopes, with an application to mass-linear functions recently introduced by D. McDuff and S. Tolman.

研究の動機と目的

• 複素射影空間 $\mathbb{C}P^n$ における非線形マスロフ指数とカルビ・ウインスタイン不変量の等価性に関するギヴェンタルの予想を解決すること。
• C. ウッドワードが提示した、ファノケーラー多様体上での混合作用-マスロフ不変量とフタキ不変量の比例関係に関する提案を検証すること。
• モーメント多面体の重心を用いて、トーリック多様体における一般化作用-マスロフ不変量を計算すること。
• McDuffとTolmanによって導入された質量線形関数の理論へのこれらの結果の応用。
• これらの不変量がハミルトニアン群および量子化群における位相的・幾何的意味を明らかにすること。

提案手法

• 本稿は、ハミルトニアン微分同相群の $\pi_1$ の位相を解析するため、シードル表現とフロア理論を用いる。
• 混合作用-マスロフホモーモルフィズム $I$ の定義は、シンプレクティック線形化とループを満たすディスクに沿ったマスロフ指数の計算を通じて適用される。
• トーリック多様体では、一般化作用-マスロフ不変量はモーメント多面体の重心と不変部分多様体への積分を用いて計算される。
• カルビ・ウインスタインホモーモルフィズムは、基底多様体上での接触ハミルトニアンの積分を通じて評価される。
• 不変量間の比例関係の証明は、等変コhomologyにおけるカップリング類とポアンカーデュアルの比較に依拠する。
• モーメント写像と等変幾何学を用いて、不変量をモーメント多面体の面への積分に関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素射影空間 $\mathbb{C}P^n$ の量子化群のループにおける非線形マスロフ指数は、ギヴェンタルの予想通りカルビ・ウインスタイン不変量に等しいか？
• RQ2 ファノケーラー多様体上での混合作用-マスロフ不変量は、ウッドワードの提案通りフタキ不変量に比例するか？
• RQ3 トーリック多様体上での一般化作用-マスロフ不変量は、そのモーメント多面体の重心を用いて計算可能か？
• RQ4 トーリック作用のループにおいてすべての $I_{\alpha}(\gamma)$ が消えることは、$\gamma$ の可縮性を意味するか？
• RQ5 非単調ケーラー多様体における $Ham$ の普遍被覆上に、混合作用-マスロフ不変量を準モーフィズムに拡張可能か？

主な発見

• 量子化群の $\mathbb{C}P^n$ ループに対して、非線形マスロフ指数とカルビ・ウインスタイン不変量は等しく、ギヴェンタルの予想が裏付けられた。
• ファノケーラー多様体上では、混合作用-マスロフ不変量はフタキ不変量に比例し、C. ウッドワードの提案が検証された。
• トーリック多様体上での一般化作用-マスロフ不変量は、$-(n+1-L)!(B_{n-L} - B_n)$ として計算され、ここで $B_k$ はモーメント多面体の面の重心である。
• 計算により、この不変量がモーメント多面体の余次元 $L$ の面の重心に線形的に依存することが示された。
• これらの結果により、質量線形関数がモーメント多面体の重心およびハミルトニアンループの不変量の観点から幾何的に解釈可能となった。
• トーリックファノ多様体では、混合作用-マスロフ不変量の消えることが、ケーラー＝エインシュタイン計量の存在と同値であることが確立された。