[論文レビュー] Remarks on $L^p$-limiting absorption principle of Schrödinger operators and applications to spectral multiplier theorems

Shanlin Huang, Xiaohua Yao+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2016

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 38被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^n$ ($n \geq 3$) 上のシュレーディンガー作用素 $H = -\Delta + V$ に対して、$L^p$-型の極限吸収原理を確立し、$V$ に対する可積分性およびスペクトル正則性の条件下で $\lambda > 0$ に対して一様な $L^{\frac{2(n+1)}{n+3}}$-$L^{\frac{2(n+1)}{n-1}}$ レゾゾルベント推移を証明する。この結果により、鋭いスペクトル乗算子定理が得られ、分数階シュレーディンガー作用素に対しても一様ハーディー＝リトルウッド＝ソボレフ不等式が拡張される。

ABSTRACT

This paper comprises two parts. We first investigate a $L^p$ type of limiting absorption principle for Schrödinger operators $H=-Δ+V$, i.e., In $\mathbb{R}^n$ ($n\ge 3$) we prove the $ε-$uniform $L^{\frac{2(n+1)}{n+3}}$-$L^{\frac{2(n+1)}{n-1}}$ estimates of the resolvent $(H-λ\pm iε)^{-1}$ for all $λ>0$ when the potential $V$ belongs to some integrable spaces and a spectral condition of $H$ at zero is assumed. As an application, we establish a sharp spectral multiplier theorem and $L^p$ bound of Bochner-Riesz means associated with Schrödinger operators $H$. Next, we consider the fractional Schrödinger operator $H=(-Δ)^α+V$ ($0<2α

研究の動機と目的

• シュレーディンガー作用素 $H = -\Delta + V$ に対して、$\lambda_0 = 0$ の場合への $L^p$-型極限吸収原理の拡張。
• 一様レゾゾルベント推移を用いて、$H$ に対する鋭いホルンダータイプのスペクトル乗算子定理の確立。
• 分数階シュレーディンガー作用素 $(-\Delta)^\alpha + V$（$0 < 2\alpha < n$）に対して、一様ハーディー＝リトルウッド＝ソボレフ不等式の一般化。
• 埋め込まれた固有値の不在およびゼロにおける正則性を用いた $H$ のスペクトル的性質の特定。

提案手法

• 可積分性とゼロにおける正則性の下で、$V \in L^{\frac{n}{2}+\sigma} \cap L^{\frac{n}{2}}$ かつ $L^{\frac{2(n+1)}{n-1}}$ 内でゼロ正則性を満たす条件下で、$(H - \lambda \pm i\epsilon)^{-1}$ に対する一様 $L^{\frac{2(n+1)}{n+3}}$-$L^{\frac{2(n+1)}{n-1}}$ レゾゾルベント推移を証明する。
• ストーンの公式を用いてレゾゾルベント推移とスペクトル測度推移を関連させ、スペクトル乗算子結果の導出を可能にする。
• 極限吸収原理およびコンパクト性の議論を用いて、分数階の場合の $(-\Delta)^\alpha + V$ のレゾゾルベントを分析する。
• ローレンツ空間および重み付き推移の理論を活用し、特にケニッジ＝ルイス＝ソッゲの結果を摂動設定に拡張する。
• ホルダーの不等式および摂動論を用いて、$L^p$-作用素ノルムにおける $H - z$ のレゾゾルベントを制御する。
• フレドホルム理論およびレリッヒのコンパクト性定理を用いて、特異スペクトルが存在しうるレベーグ測度ゼロの集合 $E$ が存在することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シュレーディンガー作用素 $H = -\Delta + V$ に対して、$V \in L^{\frac{n}{2}+\sigma} \cap L^{\frac{n}{2}}$ の下で、$L^p$-型極限吸収原理を $\lambda_0 = 0$ の場合に拡張できるか。
• RQ2 ゼロが正則スペクトル点であるとき、$H = -\Delta + V$ に対して一様 $L^p$ レゾゾルベント推移が成立する $p$ の鋭い範囲は何か。
• RQ3 $H$ に対する一様レゾゾルベント推移は、どのように鋭いスペクトル乗算子定理およびボッハナー＝リーツ評価を導くか。
• RQ4 分数階シュレーディンガー作用素 $(-\Delta)^\alpha$ に対する一様ハーディー＝リトルウッド＝ソボレフ不等式を、$(-\Delta)^\alpha + V$ の摂動系に拡張できるか。
• RQ5 埋め込まれた固有値の不在およびゼロにおけるスペクトル測度の正則性を保証する条件は何か。

主な発見

• 可積分性およびゼロにおける正則性の下で、$V \in L^{\frac{n}{2}+\sigma} \cap L^{\frac{n}{2}}$ であれば、$\lambda > 0$ に対して一様 $L^{\frac{2(n+1)}{n+3}}$-$L^{\frac{2(n+1)}{n-1}}$ レゾゾルベント推移 $$\sup_{0<\epsilon<1}\|(-\Delta + V - (\lambda + i\epsilon))^{-1}\|_{L^{\frac{2(n+1)}{n+3}}-L^{\frac{2(n+1)}{n-1}}}} \leq C\lambda^{-\frac{1}{n+1}}$$ が成立する。
• $H = -\Delta + V$ に対して、鋭いホルンダータイプのスペクトル乗算子定理が確立され、スペクトル測度ノルムが $C\lambda^{-\frac{1}{n+1}}$ で有界であることが示された。
• 作用素 $H$ に関連するボッハナー＝リーツ作用素は、$\frac{2(n+1)}{n+3} \leq p \leq \frac{2(n+1)}{n-1}$ の範囲で $L^p$ 範囲で有界であり、これはレゾゾルベント推移の範囲と一致する。
• 分数階シュレーディンガー作用素 $H = (-\Delta)^\alpha + V$（$0 < 2\alpha < n$）に対して、一様ハーディー＝リトルウッド＝ソボレフ不等式が、$$\|(H - z)^{-1}\|_{L^p - L^{p'}} \leq C|z|^{\frac{n}{2\alpha}(\frac{1}{p} - \frac{1}{p'}) - 1}$$ の形で証明された。ただし、$\max(\frac{2\alpha}{n}, \frac{n+3}{2(n+1)}) < \frac{1}{p} \leq \frac{n+2\alpha}{2n}$ を満たす。
• $\|V\|_{L^{\frac{n}{2\alpha}}} \leq c_0$（$c_0 > 0$ が十分小さい）であれば、$H = (-\Delta)^\alpha + V$ のレゾゾルベントは一様 $L^p$-作用素ノルムで有界である。
• $(-\Delta)^m + V$ の特異スペクトルは、$\mathbb{R}$ のレベーグ測度ゼロの集合 $E \subset \mathbb{R}$ に含まれる。また、$\mathbb{C}_+ \setminus \{0\} \setminus E$ 上でレゾゾルベントは連続であり、$\mathbb{R} \setminus E \setminus \{0\}$ のコンパクト部分集合上で一様有界である。