[論文レビュー] Remarks on local controllability for the Boussinesq system with Navier boundary condition

Cristhian Montoya|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2019

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非線形的ノイマンスリップ境界条件と内部制御を伴う2次元および3次元のBoussinesq系について、局所的正確な可制御性を確立する。2次元では熱方程式にのみ1つの制御を、3次元では2つのスカラー制御を用いる。主な貢献は、随伴系に対する新しいCarleman推定量の確立であり、固定点法と重み付きエネルギー不等式を用いて、最小限の制御仮定のもとで零可制御性を実現する。

ABSTRACT

This note deals with the local exact controllability to a particular class of trajectories for the Boussinesq system with nonlinear Navier-slip boundary conditions and internal controls having vanishing components. Briefly speaking, in two dimensions, the local exact controllability property is obtained using only one control in the heat equation, meanwhile two scalar controls are required in three dimensions.

研究の動機と目的

• 非線形的ナビエ＝スリップおよびノイマン境界条件を伴うBoussinesq系の、特定の軌道への局所的正確可制御性を確立すること。
• 特に3次元において、先行研究と比較して必要なスカラー制御の数を削減すること。
• 温度場に最小限の正則性仮定を置いたもとで、2次元では熱方程式にのみ1つの制御、3次元では2つのスカラー制御を用いて可制御性を証明すること。
• ナビエ＝ストークスおよびBoussinesq系のナビエ＝スリップ条件における既存の零可制御性結果を、連成流体熱系へと拡張すること。

提案手法

• 線形化Boussinesq方程式の随伴系に対する、擬凸関数ηに依存する重み関数を組み込んだ新しいCarleman推定量の導出。
• Carleman不等式の文脈において、重み付きソボレフ空間とエネルギー推定を用いて、解およびその微分の制御。
• 非線形境界条件（f(y))tgと対流項（y · ∇θ) の非線形系における固定点定理の適用。
• 解および制御の可積分性と正則性を保証するための、特定の指数的重みを有する関数空間Eの構成。
• 観測可能性と可制御性の双対性の利用。随伴系を通じてCarleman推定量を可制御性結果に結びつける。
• パラメータ化された重み関数β(x,t)およびその最大・最小関数（β*, bβ）の使用により、制御効果の局所化と強制的不等式の導出。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ナビエ＝スリップ条件を満たすBoussinesq系に対して、2次元では1つの制御のみで局所的正確可制御性が達成可能か？
• RQ2 ナビエ＝スリップおよびノイマン条件のもとで、3次元における局所的正確可制御性に必要な最小のスカラー制御数は何か？
• RQ3 温度場θの正則性は、可制御性結果およびCarleman推定量の有効性にどのように影響するか？
• RQ4 ナビエ＝ストークス系に用いられた手法を、非線形境界条件を伴うBoussinesq系へと拡張可能か？
• RQ5 ナビエ＝ストークス系と同様に、非ゼロの速度場を伴うBoussinesq系に対しても、N−1制御結果が達成可能か？

主な発見

• 2次元では、与えられた境界条件および正則性仮定のもとで、熱方程式にのみ1つの制御を用いて、軌道への局所的正確可制御性が達成される。
• 3次元では、局所的正確可制御性を達成するためには2つのスカラー制御が必要であり、これはナビエ＝スリップ条件を満たすナビエ＝ストークス系に必要な最小数と一致する。
• 擬凸関数ηおよび指数的パラメータに依存する重みを有する、随伴系に対する新しいCarleman推定量が確立された。これはλ ≥ λ₀およびs ≥ s₀(λ)に対して有効である。
• 不等式(7)は、随伴系の解を右辺および局所化された制御項の観点からグローバルに有界化するものであり、双対性の議論を可能にする。
• 非線形系への線形化系の零可制御性結果は、境界非線形性および対流項の両方の固定点定理を用いて拡張された。
• 先行研究[1]および[13]に比べ、制御数の削減と、ナビエ＝スリップ条件を伴うBoussinesq系への枠組みの拡張により、結果が向上した。