[論文レビュー] Remarks on Quantum Modular Exponentiation and Some Experimental Demonstrations of Shor's Algorithm

Zhengjun Cao, Zhenfu Cao+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ショアの因数分解アルゴリズムにおける標準的な量子モジュラー指数計算手法を批判し、重ね合わせ状態に適用した場合、ショア自身およびニールセン＝チュアンの記述が誤りであると主張する。既存の実験的実装例（例えば、最初のレジスタに8量子ビット未満で15を因数分解した例）は、本質的な条件 $ n^2 \leq q < 2n^2 $ を満たさず、量子的優位性の完全な発現を示すには無効で誤解を招くものであると示している。

ABSTRACT

An efficient quantum modular exponentiation method is indispensible for Shor's factoring algorithm. But we find that all descriptions presented by Shor, Nielsen and Chuang, Markov and Saeedi, et al., are flawed. We also remark that some experimental demonstrations of Shor's algorithm are misleading, because they violate the necessary condition that the selected number $q=2^s$, where $s$ is the number of qubits used in the first register, must satisfy $n^2 \leq q &lt; 2n^2$, where $n$ is the large number to be factored.

研究の動機と目的

• ショアの因数分解アルゴリズムに用いられる標準的な量子モジュラー指数計算手順に内在する欠陥を特定・是正すること。
• 最初のレジスタに十分な量子ビット数を割り当てていない実験的実装の有効性を疑問視すること。
• ショアのアルゴリズムの正しさを保証するための必須条件 $ n^2 \leq q < 2n^2 $（ここで $ q = 2^s $）が不可欠であることを明確にすること。
• ニールセン＝チュアンのモジュラー指数計算手法が重ね合わせ状態に対しては効率的ではなく、$ O(\log n) $ ではなく $ O(q^2) $ の操作を要することを示すこと。
• 多くの報告された実験的実装が、根本的な量子計算要件を満たさないため、有効なデモンストレーションとは言えないという主張をすること。

提案手法

• ショアのアルゴリズムにおける標準的な量子モジュラー指数計算プロセスを分析し、変換 $ \frac{1}{\sqrt{q}}\sum_{a=0}^{q-1}|a\rangle|0\rangle \rightarrow \frac{1}{\sqrt{q}}\sum_{a=0}^{q-1}|a\rangle|x^a \mod n\rangle $ に注目する。
• ニールセン＝チュアンの手法が、$ a $ の2進数の桁に基づいてユニタリ操作を適用するが、これにより $ O(q^2) $ の操作が必要となり、多項式時間の効率性を満たさないことを特定する。
• 連分数展開技術を用いて、$ c/q $ が $ d/r $ に信頼性を持って近似可能となるのは $ q \geq n^2 $ のときのみであることを示す（ここで $ r = \text{ord}_n(x) $）。
• IBM 2001年、クイーンズランド大学 2007年、中国科学技術大学 2007年、UCSB 2012年などのショアのアルゴリズムの実験的実装を評価し、$ q = 2^s \geq n^2 $ を満たしているかを確認する。
• 回路図における概念的誤りを指摘する。例えば、$ |C^x \mod N\rangle $ を純粋状態として表現しているが、正しくは重ね合わせ状態 $ \frac{1}{\sqrt{q}}\sum_x |C^x \mod N\rangle $ でなければならない。
• 恒等式 $ \prod_{i=0}^{s-1}(1 + x^{2^i}) = \sum_{a=0}^{2^s - 1} x^a $ を用いて、古典的多項式恒等式から量子重ね合わせを単純に構築できるという誤解を強調する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜショアおよびニールセン＝チュアンが記述する標準的な量子モジュラー指数計算手法は、ショアのアルゴリズムにおける重ね合わせ状態に不十分なのか？
• RQ2 与えられた $ n $ を因数分解するためのショアのアルゴリズムを正しく動作させるために、最初のレジスタに必要な量子ビット数はどれくらいか？
• RQ3 なぜ多くのショアのアルゴリズムの実験的実装が、必要な条件 $ n^2 \leq q < 2n^2 $ を満たさないのか？
• RQ4 ニールセン＝チュアンのモジュラー指数計算手法がなぜ $ O(q^2) $ の操作を引き起こし、多項式時間実行の要件と矛盾するのか？
• RQ5 出版済みのショアのアルゴリズム実験的実装で用いられている回路図や状態表現に、どのような概念的・技術的欠陥があるのか？

主な発見

• ショアおよびニールセン＝チュアンが記述する標準的な量子モジュラー指数計算手法は、重ね合わせ状態に適用した場合に誤りであり、$ O(\log n) $ ではなく $ O(q^2) $ の操作を要するため、多項式時間の効率性を破る。
• ショアのアルゴリズムが正しく動作するためには、最初のレジスタに $ q = 2^s \geq n^2 $ の量子ビット数 $ s $ が必要であるが、多くの実験的実装ではこの条件を満たさない。
• 2001年のIBM実験（$ n = 15 $ で最初のレジスタに3量子ビット）は無効である。なぜなら $ 2^3 = 8 < 225 = 15^2 $ であり、連分数ステップが信頼性を失うからである。
• 2007年の中国科学技術大学の実験（$ n = 15 $ で最初のレジスタに2量子ビット）も無効である。なぜなら $ 2^2 = 4 < 225 $ であり、基本的要件 $ q \geq n^2 $ を満たさないからである。
• 2012年のUCSB実験（$ n = 15 $ で最初のレジスタに1量子ビット）は根本的に誤りである。なぜなら $ 2^1 = 2 < 225 $ であり、このような小さなレジスタではモジュラー算術を意味的に表現できないからである。
• いくつかの実験論文では、第二レジスタを純粋状態 $ |C^x \mod N\rangle $ として誤って表現しているが、正しくは重ね合わせ状態 $ \frac{1}{\sqrt{q}}\sum_x |C^x \mod N\rangle $ でなければならない。この誤りは、量子並列処理のメカニズムを無効にしている。