[論文レビュー] Remarks on the conjectured log-Brunn-Minkowski inequality

Christos Saroglou|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2013

Point processes and geometric inequalities参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、座標超平面に関して対称な無条件凸体（unconditional convex bodies）に対して、対数変数変換の後、Prékopa-Leindler 不等式を用いることで、対数＝ブリュンナー＝ミンコフスキー予想を証明する。主な結果として、不等式が確立され、等号成立条件が完全に特定され、等号が成り立つのは、一方の体が他方の正定値対角変換である場合に限ることを示し、Lp 不等式および対数的ミンコフスキー問題へと拡張される。

ABSTRACT

\footnotesize Böröczky, Lutwak, Yang and Zhang recently conjectured a certain strengthening of the Brunn-Minkowski inequality for symmetric convex bodies, the so-called log-Brunn-Minkowski inequality. We establish this inequality together with its equality cases for pairs of unconditional convex bodies with respect to some orthonormal basis. Applications of this fact are discussed. Moreover, we prove that the log-Brunn-Minkowski inequality is equivalent to the (B)-Theorem for the uniform measure of the cube (this has been proven by Cordero-Erasquin, Fradelizi and Maurey for the gaussian measure instead).

研究の動機と目的

• 無条件凸体に対する対数的ブリュンナー＝ミンコフスキー予想を証明すること。
• このクラスの体に対して、対数的ブリュンナー＝ミンコフスキー不等式における等号成立条件を特定すること。
• 立方体上の一様測度に関して、対数的ブリュンナー＝ミンコフスキー不等式と (B)-定理が同値であることを確立すること。
• 0 < p < 1 に対して、無条件凸体に対する Lp ブリュンナー＝ミンコフスキーおよび Lp ミンコフスキー不等式の有効性を拡張すること。

提案手法

• 無条件凸体の 0-凸結合の対数変換に Prékopa-Leindler 不等式を適用する。
• 変数変換 zi ↦ ezi を用いて、0-結合の体積を Prékopa-Leindler の設定と関連付ける。
• 対数的ブリュンナー＝ミンコフスキー不等式における等号が成り立つのは、一方の体が他方の正定値対角変換である場合に限ることを証明する。
• 表面積測度の台を分析し、H"older の不等式を用いて、等号成立ケースを既約成分に還元する。
• 体の積の 0-結合が、座標部分空間への射影によって不等式を満たすことを示す。
• 部分空間濃度条件を用いて、対数的ブリュンナー＝ミンコフスキー不等式と対数的ミンコフスキー問題を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対数的ブリュンナー＝ミンコフスキー不等式は、すべての対称凸体、特に無条件のものに対して成り立つか？
• RQ2 無条件設定における対数的ブリュンナー＝ミンコフスキー不等式の正確な等号成立条件は何か？
• RQ3 立方体上の一様測度に関して、対数的ブリュンナー＝ミンコフスキー不等式は (B)-定理と同値か？
• RQ4 0 < p < 1 に対して、Lp ブリュンナー＝ミンコフスキーおよび Lp ミンコフスキー不等式は無条件凸体へと拡張可能か？
• RQ5 錐体積測度は、無条件ケースにおける対数的ブリュンナー＝ミンコフスキー不等式とどのように関係するか？

主な発見

• 対数的ブリュンナー＝ミンコフスキー不等式は、同一の正規直交基底に関して、すべての無条件凸体のペアに対して成り立つ。
• 対数的ブリュンナー＝ミンコフスキー不等式における等号が成り立つのは、一方の体が他方の正定値対角変換である場合に限る。
• 不等式は、無条件設定において Lp ブリュンナー＝ミンコフスキーおよび Lp ミンコフスキー不等式を示唆する。
• Lp 不等式の等号成立条件は、同じ対角変換条件によって完全に特徴付けられる。
• 対数的ブリュンナー＝ミンコフスキー不等式は、立方体上の一様測度に関して (B)-定理と同値である。
• 無条件凸体の錐体積測度は、部分空間濃度条件を満たし、これにより対数的ミンコフスキー問題と結びつく。