[論文レビュー] Remarks on the Dynamic of the Ruelle Operator and invariant differentials

Peter Makienko|ArXiv.org|Apr 29, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有理写像の微分形式の空間におけるルイユ作用素の力学を調査し、不変の共形構造の非存在に関する必要十分条件——測度列の収束およびルイユ＝ポincare級数の挙動——を、ジュリア集合上で確立する。主な貢献は、ラッティーズ写像を除き、後期臨界集合の条件のもとで、不変の正則（拡張されたメルモーフィックを含む）微分形式が存在しないことを証明することである。これは、可積分微分形式に関する先行研究を、より広い正則微分形式のクラスへと拡張するものである。

ABSTRACT

Let $ R $ be a rational map. We are interesting in the dynamic of the Ruelle operator on suitable spaces of differentials. In particular the necessary and sufficient conditions (in terms of convergence of sequences of measures) of existence of invariant conformal structures on $ J(R) $ are obtained.

研究の動機と目的

• 有理写像のジュリア集合における不変の共形構造の存在を、ルイユ作用素の力学を用いて特徴づけること。
• 不変可積分微分形式に関する先行結果を、拡張されたメルモーフィック微分形式を含むより広い正則微分形式のクラスへと拡張すること。
• 不変の共形構造の非存在およびジュリア集合が零レベーグ測度をもつための必要十分条件——測度列の収束およびルイユ＝ポincare級数の挙動に基づく——を確立すること。
• 先行研究から得られた追加条件を、ルイユ作用素のモジュラスおよびスペクトル挙動を含む等価な力学的基準に再定式化すること。
• ルイユ作用素およびベルトラミ作用素のスペクトルを、特にJ安定性および双曲性と関連して調査すること。

提案手法

• ルイユ作用素 $ R^* $ は $ L_1(\overline{\mathbb{C}}) $ および $ L_p(\overline{\mathbb{C}}) $ 上で定義され、有理写像 $ R $ の逆分岐による引き戻しを通じて微分形式に作用する。
• ルイユ作用素 $ |R^*| $ のモジュラスを用いて、不変構造に関連する測度列のスペクトル挙動および収束を分析する。
• 候補となる不変の共形構造 $ \mu $ に対応する擬等角写像 $ f_\mu $ を構成し、関連する写像 $ h $ が同じ無限小変形を持つように、ファトウ集合上に支持される条件を導出する。
• 証明は背理法に依拠する：非自明な不変正則微分形式の存在を仮定すると、臨界点の有限な前向き軌道が得られ、無限軌道の仮定に反する。
• 著者たちは一般化されたサリバン予想およびポincare級数の性質を用いて、不変微分形式の非存在をベルトラミ作用素の非自明な固定点の不在と結びつける。
• $ L_1 $ 上での $ R^* $ のスペクトル解析により、スペクトルが閉単位円板であることが示され、固有関数の構造が無限後期臨界軌道のもとで矛盾を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ルイユ作用素の力学が、ジュリア集合上での不変の共形構造の非存在を示すための条件は何か？
• RQ2 測度列の収束およびルイユ＝ポincare級数の挙動は、不変の共形構造の非存在とどのように関係するか？
• RQ3 後期臨界集合の条件のもとで、可積分微分形式を超える不変正則微分形式（特に拡張されたメルモーフィック微分形式を含む）の非存在は、写像がラッティーズ写像でないことに同値であるとみなせるか？
• RQ4 Poincaré級数関数の線型包の閉包上でのルイユ作用素のスペクトルが有限であるのは、後期臨界的有限写像の場合に限るのか？
• RQ5 $ R^k $ がそのヒルツィッヒ類内でJ安定であるならば、 $ n > k $ に対して $ R^n $ もJ安定であると示せるか？ そしてこれはベルトラミ作用素の点スペクトルにどのような含意をもたらすか？

主な発見

• $ L_1(\overline{\mathbb{C}}) $ 上のルイユ作用素 $ R^* $ のスペクトルは閉単位円板であり、内部のすべての点が固有値である。
• 任意の有理写像 $ R $ に対して、[Mak2]と同一の後期臨界集合の仮定のもとで、非自明な不変正則微分形式（拡張されたメルモーフィック微分形式を含む）の非存在は、 $ R $ がラッティーズ写像でないことに同値である。
• ジュリア集合がレベーグ測度ゼロをもつための必要十分条件は、ルイユ作用素がPoincaré級数に作用する関連する特定の測度列の収束である。
• $ J(R) $ 上での不変の共形構造の非存在は、 $ \mu_n = (R^*)^n(\tau_a) $ で定義される測度列 $ \mu_n $ の収束と同値である。ここで $ \tau_a $ はPoincaré級数関数である。
• ルイユ＝ポincare級数の共通の挙動——特に絶対収束および減衰——は、不変の共形構造の非存在の十分条件をなしており、以前の結果を一般化する。
• 証明により、非自明な不変正則微分形式が存在するならば、無限前向き軌道を持つ臨界点が有限前向き軌道を持つことになり、仮定に反する。これにより非存在が証明される。