[論文レビュー] Remarks on the nonlinear Schroedinger equation with harmonic potential

Rémi Carles|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2001

Advanced Mathematical Physics Problems被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、ボーズ＝アインシュタイン凝縮でよく用いられる調和ポテンシャルを伴う非線形シュレーディンガー方程式のコーシー問題を研究する。擬似自己相似型の進化法則を確立することで、波動の収束条件および爆発時間の上界・下界を導出し、ポテンシャルなしの場合を超えてグローバル存在解析を拡張する。

ABSTRACT

Bose-Einstein condensation is usually modeled by nonlinear Schroedinger equations with harmonic potential. We study the Cauchy problem for these equations. We show that the local problem can be treated as in the case with no potential. For the global problem, we establish an evolution law, which is the analogue of the pseudo-conformal conservation law for the nonlinear Schroedinger equation. With this evolution law, we give wave collapse criteria, as well as an upper bound for the blow up time. Taking the physical scales into account, we finally give a lower bound for the blow up time.

研究の動機と目的

• 調和ポテンシャルを伴う非線形シュレーディンガー方程式のコーシー問題を分析すること。これはボーズ＝アインシュタイン凝縮の重要なモデルである。
• 標準的な非線形シュレーディンガー方程式からの局所的適切性結果を、調和ポテンシャルを含む場合に拡張すること。
• グローバル問題に対して、擬似自己相似保存則に類似した進化法則を導出すること。
• 物理的スケーリング下での解の爆発時間に対する上界および下界を確立すること。

提案手法

• 標準的な非線形シュレーディンガー方程式からの局所的存在理論を、調和ポテンシャルを含む場合に適応する。
• 調和ポテンシャルを伴う方程式に対して、擬似自己相似保存則を一般化する新しい進化法則を導出する。
• 導出された進化法則を用いて、波動収束の十分条件を定式化する。
• 物理的スケーリングを適用して、爆発時間の境界を物理的に意味のある推定値に変換する。
• エネルギーおよび分散型推定を組み合わせることで、爆発時間の上界および下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 調和ポテンシャルの存在が、非線形シュレーディンガー方程式の局所的およびグローバル的適切性にどのように影響するか？
• RQ2 非線形シュレーディンガー方程式に調和ポテンシャルが存在する場合に、擬似自己相似型保存則を一般化できるか？
• RQ3 調和ポテンシャルが存在する状況で、波動収束を予測する基準をどのように導出できるか？
• RQ4 物理的スケーリング下で、爆発時間に対する上界および下界をどのように確立できるか？

主な発見

• 調和ポテンシャルを伴う非線形シュレーディンガー方程式の局所的コーシー問題は、ポテンシャルなしの場合と同様に適切に定式化される。
• 擬似自己相似保存則に類似した進化法則が導出され、グローバルダイナミクスの解析が可能になる。
• 導出された進化法則を用いて、波動収束の十分条件が確立される。
• 進化法則と分散推定を用いて、爆発時間の上界が得られる。
• 物理的スケーリングを解析に組み込むことで、爆発時間の下界が導出される。