[論文レビュー] Removing chambers in Bruhat-Tits buildings

Sylvain Barré, Mikaël Pichot|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、2次元のユークリッドビルディングから等長的にチャーチャーを除去することで得られる'チャーチャーが欠損したビルディング'——CAT(0)空間を導入する。これにより、コンpaktoな商を持つ新たな可算群の作用が得られる。主な結果は、1つのチャーチャーを除去することで空間のランクが2から1に急激に低下し、双曲的であるユニバーサル被覆が得られることを示しており、ビルディングの最小限の手術によって双曲的性質が現れる中間ランクの振る舞いが生じうることを示している。

ABSTRACT

We introduce and study a family of countable groups constructed from Euclidean buildings by "removing" suitably chosen subsets of chambers.

研究の動機と目的

• ユークリッドビルディングから等長的にチャーチャーを除去することで、新たなCAT(0)空間および可算群の族を構成すること。
• 高ランクのユークリッドビルディングと双曲空間の間の'ランク補間'現象を調査すること。
• このような群が双曲的であるか、Z²部分群を含むかを特定し、双曲的性質とZ²部分群の包含の二択を検証すること。
• メトリックグラフとリンク幾何学を用いて、2次元CAT(0)空間に対する局所的ランク不変量を定義・分析すること。
• チャーチャーが欠損した空間のグローバルランクが、頂点のリンクの構造といった局所的データから検出可能かどうかを特定すること。

提案手法

• 2次元のランク2のユークリッドビルディング $X$ から、そのチャーチャーの軌道を除去することで空間を構成し、コンパクトな商を持つ可算群 $\Gamma$ による適切な等長作用を備える。
• 得られた空間にピecewise線形計量を導入し、少なくとも1つのチャーチャーが除去されており $\dim X = 2$ である場合、それがCAT(0)であることを証明する。
• girth $\geq 2\pi$ のメトリックグラフ $G$ に対して、極端な状況の線形補間を用いて、$\mathrm{rk}(G) \in [1,2] \cap \mathbb{Q}$ という局所的ランク不変量を定義する。
• 頂点 $x$ のリンクを用いて $\mathrm{rk}(G)$ を定義し、これは $x$ における接錐内に存在するフラットの割合を測る。
• 測地線ホモトピーとリンク射影を用いた幾何的議論により、$X \setminus U_t$ がちょうど2つの連結成分を持つことを示し、壁を確立する。
• $(X,\Gamma)$ に関連する'不変グラフ'を定義し、それがチャーチャーが欠損したビルディングかどうかを検出するのを助け、存在する場合の可能な拡張の数を上界で与える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランク2のユークリッドビルディングから1つのチャーチャーを除去すると、ユニバーサル被覆が双曲的になることは可能か？
• RQ2 除去されたチャーチャーの割合と、空間のランクとの関係は何か？
• RQ3 チャーチャーが欠損した空間のグローバルランクは、頂点のリンクといった局所的データから特定可能か？
• RQ4 チャーチャーが欠損したビルディング上で作用する群 $\Gamma$ がハーガープロパティを持つのはどのような条件下か？
• RQ5 このような群が、コンパクトな商を持つCAT(0)キューブ複体上で適切に作用するのはどのような条件下か？

主な発見

• ランク2のユークリッドビルディング $X$ と、コンパクトな商を持つ適切な等長作用をもつ可算群 $\Gamma$ が存在し、1つのチャーチャーの軌道を除去すると、ユニバーサル被覆が双曲的になる。
• girth $\geq 2\pi$ のメトリックグラフ $G$ に対する局所的ランク不変量 $\mathrm{rk}(G)$ は $[1,2] \cap \mathbb{Q}$ の値をとり、1と2はそれぞれ双曲的および球面的ビルディングの極端な状況に対応する。
• メービウス＝カンターのグラフの局所的ランクは $\frac{7}{4}$ であり、これは新導入の不変量の意味で中間ランクのモデルとしての役割を果たすことを確認している。
• チャーチャーの軌道を除去することで得られる空間 $X \setminus U_t$ はちょうど2つの連結成分を持ち、2つの関連する壁が定義される。
• グローバル構造がリンクの局所的構造だけでは検出できないことが、反例により示された。すなわち、すべてのリンクがチャーチャーが欠損したビルディングであるが、空間自体はそうではない例が存在する。
• 実用的な不変グラフを構成し、与えられた空間がチャーチャーが欠損したビルディングかどうかを検出するのを助け、存在する場合の可能な拡張の数を上界で与える。