[論文レビュー] Renormalisation of hierarchically interacting Cannings processes

Andreas Greven, den W.Th.F. Hollander+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 42被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、多スケール移動と非局所的再サンプリングを伴う階層的相互作用を有するCannings過程の新クラスを導入し、階層的平均場極限におけるその再スケーリングを分析する。$N\to\infty$ の極限において、$k$-マクロコロニー平均は、下位スケールの移動および再サンプリングパラメータに依存する揮発性 $d_k$ を持つ $C^{\Lambda_k}$-過程とFleming-Viot過程の重ね合わせに収束することが示され、移動と再サンプリングの強度の組み合わせによって支配される、クラスタリングと局所的共存の間の新規な二分法が明らかになる。

ABSTRACT

The present paper brings a new class of interacting jump processes into focus. We start from a single-colony $C^Λ$-process, which arises as the continuum-mass limit of a $Λ$-Cannings individual-based population model, where $Λ$ is a finite non-negative measure that describes the offspring mechanism. After that we introduce a system of hierarchically interacting $C^Λ$-processes, where the interaction comes from migration and reshuffling-resampling based on measures $(Λ_k)_{k}$ both acting in $k$-blocks of the hierarchical group. We refer to this system as the $C_N^{c,Λ}$-process. The dual process of the $C_N^{c,Λ}$-process is a spatial coalescent with multi-level block coalescence. For the above system we carry out a full renormalisation analysis in the hierarchical mean-field limit $N o\infty$. Our main result is that, in the limit as $N o\infty$, on each scale $k\in\mathbb{N}_0$ the $k$-block averages of the $C_N^{c,Λ}$-process converge to a random process that is a superposition of a $C^{Λ_k}$-process and a Fleming-Viot process, the latter with a volatility $d_k$ and with a drift of strength $c_k$ towards the limiting $(k+1)$-block average. It turns out that $d_k$ is a function of $c_l$ and $Λ_l$ for all $0\leq l

研究の動機と目的

• 拡散系から、非局所的再サンプリングを伴う新しいタイプの相互作用ジャンプ過程—階層的相互作用$C^\Lambda$-過程—への再スケーリング解析を拡張すること。多様なタイプを持つ集団をモデル化する。
• これらの過程の空間的・時間的大規模挙動を、階層的平均場極限 $N\to\infty$ において調査すること。特に、階層的スケール間を跨ぐマクロな観測量の進化に注目する。
• $k$-マクロコロニー平均の極限的挙動を、スケールに依存する揮発性 $d_k$ を持つ $C^{\Lambda_k}$-過程とFleming-Viot過程の重ね合わせとして特徴付けること。
• システムがクラスタリング（空間的単一タイプ領域）と局所的共存（複数タイプの共存）を示す条件を特定すること。これにより、古典的な再帰/非再帰的移動の二分法が、移動と非局所的再サンプリングのトレードオフに置き換えられる。

提案手法

• モデルは、各階層的スケール $k\in\mathbb{N}_0$ で再サンプリング測度 $\Lambda_k$ を持つ $\Lambda$-Cannings個体ベースモデルの連続質量極限としての単一コロニー $C^\Lambda$-過程に立脚する。
• 階層群 $\Omega_N$ 上に、移動係数 $c_k$ と再サンプリング測度 $\Lambda_k$ がすべてのスケールで同時に作用する、階層的相互作用 $C^\Lambda$-過程の系を定義する。
• 双対過程は、再サンプリングの前に行われる再編成を介してマクロコロニー間で発生する多スケール非局所的凝集を有する空間的凝集過程として同定される。
• 再スケーリング解析では、時間のスケーリングを $N^k$ にし、$k$-マクロコロニー平均の極限を調べることで、ドリフトが $(k+1)$-マクロコロニー平均に向かうMcKean-Vlasov型極限が得られる。
• 揮発性 $d_k$ は、$l<k$ についての $c_l$ と $\Lambda_l([0,1])$ を含むMöbius変換の合成として導出され、$k\to\infty$ における漸近的スケーリングが分析され、4つの異なる状態に分類される。
• $k$-ブロック平均過程の収束は $J_1$-Skorokhod位相で確立され、移動と再サンプリングの効果をそれぞれ $L^{(N)[k]}_{\mathrm{mig}}$ と $L^{(N)[k]}_{\mathrm{res}}$ の生成作用素が捉える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非局所的再編成・再サンプリングの導入が、拡散モデルと比較して階層的相互作用Cannings過程の再スケーリングに与える影響は何か？
• RQ2 $N\to\infty$ の極限において、$C_N^{\underline{c},\underline{\Lambda}}$-過程の $k$-マクロコロニー平均の極限的挙動は何か？ これは $C^{\Lambda_k}$-過程とFleming-Viot過程の観点からどのように特徴づけられるか？
• RQ3 極限過程の揮発性 $d_k$ は、$l<k$ の下位スケールパラメータ $c_l$ と $\Lambda_l([0,1])$ にどのように依存するか？ また、$k\to\infty$ におけるその漸近的スケーリングは何か？
• RQ4 本系におけるクラスタリングと局所的共存の新しい基準は何か？ これはFleming-Viot拡散における古典的な再帰/非再帰二分法とどのように異なるか？
• RQ5 有限$N$の過程と無限$N$の極限の両方において、クラスタリングと局所的共存の二分法が同様に成立するか？ その程度はどの程度か？

主な発見

• 階層的平均場極限 $N\to\infty$ において、$C_N^{\underline{c},\underline{\Lambda}}$-過程の $k$-マクロコロニー平均は、$(k+1)$-マクロコロニー平均に向かうドリフト $c_k$ と揮発性 $d_k$ を持つ $C^{\Lambda_k}$-過程とFleming-Viot過程の重ね合わせに収束する。
• 揮発性 $d_k$ は、すべての $0\leq l<k$ についての $c_l$ と $\Lambda_l([0,1])$ の関数であり、$k\to\infty$ における漸近的スケーリングは、Möbius変換の合成を介して導出され、4つの異なる状態に分類される。
• 階層的相互作用Fleming-Viot拡散におけるクラスタリングと局所的共存の古典的二分法—$\sum_{k\in\mathbb{N}_0} 1/c_k = \infty$（再帰的）対 $<\infty$（非再帰的）—は、新たな基準に置き換えられる：$\sum_{k\in\mathbb{N}_0} (1/c_k) \sum_{l=0}^k \Lambda_l([0,1]) = \infty$（クラスタリング）対 $<\infty$（局所的共存）。
• クラスタリング状態では、非局所的再サンプリングと移動の相互作用により、Fleming-Viotの場合よりも洗練されたクラスタ形成ダイナミクスを示す。
• 局所的共存状態では、初期に存在するタイプが確率1ではなく、正の確率で生存する。これは、Fleming-Viotの場合とは異なり、より複雑な生存メカニズムを示唆する。
• 有限$N$の場合でも、$N\to\infty$ の極限と同様に、クラスタリングと局所的共存の二分法が成立するが、クラスタ形成の正確な性質やタイプの生存分布は制御されていない。