[論文レビュー] Renormalization and quantum modular forms, part II: Mock theta functions

Yingkun Li, Hieu T. Ngo+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2013

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ひとこと要約

本稿では、q-超幾何級数の正規化手続きを導入し、モック・シータ関数とモース・波動関数から、非正則なモジュラー形式の欠落したフーリエ係数を再構成する。量子モジュラー形式と上半平面および下半平面における正則関数の間の双対性を活用することで、正規化された級数を用いてモジュラー対象を完成させ、ラマヌジャンの関数に隠された構造に関するフリーマン・ダイソンの予想を裏付ける。

ABSTRACT

Sander Zwegers showed that Ramanujan's mock theta functions are $q$-hypergeometric series, whose $q$-expansion coefficients are half of the Fourier coefficients of a non-holomorphic modular form. George Andrews, Henri Cohen, Freeman Dyson, and Dean Hickerson found a pair of $q$-hypergeometric series each of which contains half of the Fourier coefficients of Maass waveform of eigenvalue $1/4$. This series of papers shows that a $q$-series construction, called ``renormalization'', yields the other half of the Fourier coefficients from a series which contains half of them. This construction unifies examples associated with mock theta functions and examples associated with Maass waveforms. Thus confirming a conviction of Freeman Dyson. This construction is natural in the context of Don Zagier's quantum modular forms. Detailed discussion of the role quantum modular forms play in this construction is given. New examples associated to Maass waveforms are given in Part I. Part II contains new examples associated with mock theta functions, and classical modular forms. Part II contains an extensive survey of the ``renormalization'' construction. A large number of examples and open questions which share similarities to the main examples, but remain mysterious, are given.

研究の動機と目的

• モック・シータ関数に関連する部分的なq-級数から、完全な非正則モジュラー形式を再構成する長年の問題を解決すること。
• モック・シータ関数とマース波動関数の例を統一する単一の枠組みに、正規化構成を形式化すること。
• 量子モジュラー形式が正則なq-級数と非正則なモジュラー対象を結ぶ役割を明確にすること。
• 正規化手法を用いて、重み3/2の新しいモック・シータ関数と古典的モジュラー形式の例を提供すること。
• 標準的なモジュラー解釈に抵抗する奇妙なq-級数を特定・分析し、量子モジュラー形式理論における新たな未解決問題を提示すること。

提案手法

• 有限和から無限極限の部分和を差し引くことで、有理数点の稠密部分集合上で収束する正規化q-級数を定義する。
• 上半平面 ℍ と下半平面 ℍ⁻ にそれぞれ正則関数を構成し、それぞれがモジュラー形式の半分のフーリエ係数を符号化する。
• 量子モジュラー形式の理論を用いて、2つの級数が一致する部分集合 S ⊂ ℚ において関数を定義し、ℍ から ℍ⁻ への情報の「漏れ出し」を可能にする。
• σ(q)、σ*(q)、および他のモック・シータ型級数のようなq-超幾何級数に正規化手続きを適用し、完全なモジュラー対象を回復する。
• 正規化された級数を既知のモジュラー形式や部分的シータ関数と関連づけ、特に除数関数と無限積を含む恒等式を通じて関係を明らかにする。
• 正規化プロセスにおける「ゴースト項」を特徴づけ、それがしばしば除数関数または部分的シータ関数を乗じたモジュラー形式の形を取ることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正規化手続きは、すべてのモック・シータ関数に対して、それに関連する非正則モジュラー形式を再構成するために体系的かつ一貫して適用可能か？
• RQ2 上半平面および下半平面の関数が一致する部分集合 S ⊂ ℚ と、関連するモジュラー形式の尖点性（cuspidality）との間の正確な関係は何か？
• RQ3 なぜ特定の正規化級数、例えば ∑(1/(q)_n² - 1/(q)_∞²) は、除数関数やクラank生成関数と関連する算術的性質を示すのか？
• RQ4 正規化プロセスにおけるゴースト項の選択を支配する普遍的な構造は存在するか？特に、モジュラー形式 × 部分的シータ関数、または除数関数の形で現れる場合に。
• RQ5 ∑(f_n(q) - f_∞(q)) の形をした正規化級数に対して、特に L_6(q⁻¹) やクラank関連級数のような場合に、新しいモジュラー対象を関連付けることは可能か？

主な発見

• 正規化構成は、初期には係数の半分しか含まないq-級数から、非正則モジュラー形式の完全なフーリエ係数を回復することに成功し、ダイソンの予想を裏付ける。
• 級数 σ(q) と σ*(q) は、固有値 1/4 のマース波動関数 φ₀(z) の正のおよび負のフーリエ係数をそれぞれ符号化しており、S(n) = T(24n+1) および S*(n) = T(1−24n) が成り立つ。
• 正規化された級数 ∑(1/(q)_n² - 1/(q)_∞²) は、除数関数と部分的シータ関数の組み合わせとして明示的に表現され、クラank生成関数と関連づけられる。
• クラank関連級数 cr(q⁻¹) については、正規化された和が ∑ qⁿ/(1−qⁿ) と ∑ (−1)ⁿ⁻¹ q^{n(n+1)/2}/(1−qⁿ) を含む閉形式で与えられ、算術的深さが示される。
• L₆(q⁻¹) の正規化級数は 2q + 5q² + 2q³ + ... として明示的に計算され、そのq-超幾何的構造は未解明であり、新たな未解決問題を提起する。
• 正規化におけるゴースト項は、しばしば除数関数または部分的シータ関数を乗じたモジュラー形式の形を取るため、量子モジュラー形式の空間におけるこのような項の分類可能性が示唆される。