[論文レビュー] Renormalization and the Euler-Maclaurin formula on cones

Li Guo, Sylvie Paycha+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2013

Advanced Topics in Algebra参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、コンヌとクライマーの代数的量子化枠組みを、凸有理多面体錐内の格子点上の指数和に適用し、格子錐と装飾付きコペア構造を導入する。この枠組みにより、メロモルフィックな局所関数の系列に線形極を持つ文脈における代数的バーキホフ分解を通じて、これらの和の畳み込み分解を確立する。この分解は、ベルリンとベルジュの一般化されたオイラー＝マクローリン公式と一致し、補間可能な正則関数のテイラー係数として、非正整数における正則化された錐ゼータ値を定義する。

ABSTRACT

The generalized algebraic approach of Connes and Kreimer to perturbative quantum field theory is applied to the study of exponential sums on lattice points in convex rational polyhedral cones. For this purpose we introduce the notion of lattice cone, which is a convex rational polyhedral cone equipped with a lattice in the linear space generated by the cone. The space of lattice cones is equipped with a connected coalgebra structure, which is further generalized to decorated lattice cones by means of a differentiation procedure. Regularized sums on lattice cones obtained as a formal Laplace transform of the characteristic function of the set of lattice points of the cone lie in a class of germs of meromorphic functions. A decomposition of the algebra of germs of meromorphic functions with linear poles derived by the authors allows for a linear complement to the algebra of germs of holomorphic functions. The Algebraic Birkhoff Factorization of Connes and Kreimer adapted and generalized to this context then gives rise to a convolution factorization of exponential sums on lattice points in lattice cones. After having shown the subdivision properties of the related linear maps on the space of lattice cones under proper choices of inner products, we show that this factorization coincides with the classical Euler-Maclaurin formula generalized to convex rational polyhedral cones by Berline and Vergne by means of an interpolating holomorphic function. We define renormalized conical zeta values at non-positive integers as the Taylor coefficients at zero of the interpolating holomorphic function. When restricted to Chen cones, this yields yet another way to renormalize multiple zeta values at non-positive integers previously investigated by the authors using other approaches.

研究の動機と目的

• 凸有理多面体錐内の格子点上の指数和へ、コンヌ＝クライマーの量子化手法を拡張すること。
• 格子錐にコペア構造を定義し、微分を用いた装飾によりその一般化を図ること。
• 線形極を持つメロモルフィックな局所関数の文脈において、代数的バーキホフ分解を通じて指数和の分解を確立すること。
• この分解が、ベルリンとベルジュの一般化されたオイラー＝マクローリン公式を回復することを示すこと。
• 補間可能な正則関数のテイラー係数として、非正整数における正則化された錐ゼータ値を定義し、その性質を調査すること。

提案手法

• スパンする線形空間に埋め込まれた格子を持つ凸有理多面体錐としての格子錐の概念を導入する。
• 格子錐の空間に連結コペア構造を構成し、微分処理を用いて装飾付き格子錐へと拡張する。
• 線形極を持つメロモルフィック関数の局所関数の代数を用いて、正則局所関数への線形補完を定義し、分解手続きを可能にする。
• 一般化された代数的バーキホフ分解を適用し、畳み込みを通じて指数和を正則部分と極部分に分解する。
• 適切な内積の選択のもとで、得られる線形写像の分割に関する性質を確立する。
• 補間可能な正則関数を介して、分解が古典的なベルリン＝ベルジュの一般化されたオイラー＝マクローリン公式と一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンヌ＝クライマーの量子化枠組みを、凸有理多面体錐内の格子点上の指数和にどのように適応できるか。
• RQ2 格子錐の背後にあるコペア構造は何か。微分による装飾は、その有用性をどのように拡張するか。
• RQ3 得られる指数和の分解は、一般化されたオイラー＝マクローリン公式のような既知の解析的公式と一致するか。
• RQ4 この枠組みにおいて、非正整数における正則化された錐ゼータ値はどのように定義され、計算されるか。
• RQ5 このアプローチは、非正整数における多重ゼータ値の先行する量子化と、どのような関係にあるか。

主な発見

• 格子錐の文脈における代数的バーキホフ分解により、畳み込みによる指数和の分解が得られ、これはベルリンとベルジュの一般化されたオイラー＝マクローリン公式と正確に一致する。
• 線形極を持つメロモルフィック関数の局所関数の空間は、正則局所関数への線形補完を備えており、これにより分解手続きが可能になる。
• 非正整数における正則化された錐ゼータ値は、分解から生じる補間可能な正則関数の原点におけるテイラー係数として定義される。
• 適切な内積が選ばれたとき、分解プロセスは分割則を保ち、錐の分解に伴う一貫性を確保する。
• チェン錐に制限した場合、この方法は、他の手法で得られた非正整数における正則化された多重ゼータ値を再現する。
• この枠組みにより、正則化と格子錐上のコペア構造に基づく、オイラー＝マクローリン公式の新しい代数的幾何的解釈が得られる。