[論文レビュー] Theta integrals and generalized error functions, II

Jens Funke, Stephen S. Kudla|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2017

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ひとこと要約

本稿は、符号型 (p,q) の二次形式空間における負のベクトルの集合に関連する特異 q-立方体および単体に沿って theta 形式を統合することにより、一般化誤差関数を伴う不定 theta 関数の幾何的実現を確立する。主な結果は、このような積分が正則 theta 級数のモジュラー完備化を生じることを示しており、交線理論および Weil 表現の技法を用いて、Zwegers よりも一般化された構成を実現する。

ABSTRACT

Theta series for indefinite quadratic lattices were introduced by Zwegers, for signature (m-1,1), Alexandrov, Banerjee, Manschot and Pioline, for signature (m-2,2), and Nazaroglu, for signature (m-q,q). These series are modular modular completions, defined by means of generalized error functions, of certain non-modular holomorphic generating series associated to lattice vectors in positive cones. We show that these modular forms arise as integrals of the theta forms, defined in work of Millson and the second author, over certain singular q-cubes. We also give an explicit formula for the integrals of such forms over singular q-simplices. The sign function occurring in the holomorphic generating series arises as in intersection number of the singular q-cube or q-simplex with a totally geodesic subsymmetric space of codimension q. The cubical case for q=2 was treated in [11].

研究の動機と目的

• 特異サイクルに沿った theta 形式の積分と関連付けることで、一般化誤差関数を伴う不定 theta 関数の幾何的解釈を提供すること。
• Zwegers よりも一般化された正則 theta 級数のモジュラー完備化を、任意の符号型 (p,q) の格子へ一般化すること。
• 得られる非正則モジュラー形式が、対称空間 D 内の特異 q-立方体および単体に沿った閉微分形式の積分から生じることを確立すること。
• Weil 表現および Schwartz 形式が、不定格子に対するモジュラー theta 級数を構成する上での役割を明確にすること。
• 特性関数 Φq(x;C) が D 内のサイクル間の重み付き交線数に対応することを示し、数論と幾何学を結びつけること。

提案手法

• 負のベクトルの集合 C = {C1, C1', ..., Cq, Cq'} が良い位置にあることを保証し、任意の s ∈ [0,1]^q に対してその張る空間が負の q-平面のままとなるように、特異 q-立方体 φC: [0,1]^q → D を定義する。
• q+1 個の一次独立な負のベクトル C0,...,Cq を用いて特異単体を構成し、任意の q 個が負の q-平面を張るようにし、符号型 (1,q) の (q+1)-次元空間を形成する。
• theta 形式 θμ(τ, φKM) をこれらの特異サイクルに沿って統合し、非正則モジュラー形式を生成する。
• メタプレクティック群の作用に対して適切に変換するように、Weil 表現を用いて Schwartz 形式 φKM(τ,x) = v^{-(p+q)/4} ω(g'τ)φKM(x) を定義する。
• 内積の符号 (x,Cj') - (x,Cj) を用いて特性関数 Φq(x;C) を交線数に関連付け、それが横断的交線の重み付き数え上げに等しいことを示す。
• Vigneras のモジュラー性基準を用い、等長群 Γ の作用における変換法則を検証することで、モジュラー性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 符号型 (p,q) の対称空間 D 内の特異サイクルに沿った閉微分形式の積分として、一般化誤差関数を伴う不定 theta 関数をどのように幾何的に実現できるか？
• RQ2 負のベクトルの集合にどのような条件を課えると、それに対応する特異立方体または単体が D 内で整合性のあるサイクルを定め、制御可能な交線性質を持つようになるか？
• RQ3 特性関数 Φq(x;C) が D 内のサイクル間の位相的交線数に対応する程度はどの程度か？ また、その関係は正則 theta 級数のモジュラー完備化とどのように関係するか？
• RQ4 特異サイクルに沿った theta 形式の統合が、一般化誤差関数を用いて既に構成済みの非正則モジュラー完備化をどのように回復するか？
• RQ5 Weil 表現および Schwartz 形式が、統合後に得られる級数のモジュラー性を保証する上で果たす正確な役割は何か？

主な発見

• Φq(x;C) = 2^{-q} ∏_{j=1}^q (sgn(x,Cj') - sgn(x,Cj)) で定義される不定 theta 級数は、サイクル ρC(U) と D 内の codimension q のサイクル Dx 間の重み付き交線数として生じる。
• C が良い位置にある場合、theta 形式 θμ(τ, φKM) を特異 q-立方体 S^□(C) に沿って統合すると、H^q(Γ\D) に値をとる重み (p+q)/2 の非正則モジュラー形式が得られる。
• 特性関数 Φq(x;C) は恒等式 (-1)^q Φq(x;C) = 2^{-r} I(Dx, ρC(U)) を満たし、r は s(x) を通る壁の数を表す。これにより、符号付きで重み付きされた交線数であることが示される。
• 正則級数 ∑_{x∈h+L} Φq(x;C) q^{Q(x)} のモジュラー完備化は、特異サイクルに沿った theta 形式の積分として実現され、Vigneras の基準によりそのモジュラー性が確認される。
• 微分恒等式 x_j ∂/∂x_j E_q(C;x) = 2 (x, C_j) E_{q-1}(C[j]; x_⊥j) e^{-π(x, C_j)^2} が導出され、誤差関数の構造が格子の幾何学的性質と関連づけられる。
• 本構成は、Zwegers (q=1)、Alexandrov et al. (q=2)、Nazaroglu (一般の q) の先行研究を統一的に一般化し、特異サイクルへの統合という一様な幾何的枠組みの下に統合される。