[論文レビュー] Renormalization of Critical Gaussian Multiplicative Chaos and KPZ formula

Bertrand Duplantier, Rémi Rhodes+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 43被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、$γ = \sqrt{2d}$ における臨界定常ガウス型自己無撞着確率測度の2つの構成法——微分に基づくものとセネタ＝ヘイド・正規化に基づくもの——の同値性を確立する。$\sqrt{t}\,M^\sqrt{2d}_t$ が確率的に臨界測度の定数倍に収束することを証明し、臨界におけるKPZ公式を完成させ、2次元ガウス自由場を含む対数相関場における臨界測度の普遍性を裏付ける。

ABSTRACT

Gaussian Multiplicative Chaos is a way to produce a measure on $\R^d$ (or subdomain of $\R^d$) of the form $e^{γX(x)} dx$, where $X$ is a log-correlated Gaussian field and $γ\in [0,\sqrt{2d})$ is a fixed constant. A renormalization procedure is needed to make this precise, since $X$ oscillates between $-\infty$ and $\infty$ and is not a function in the usual sense. This procedure yields the zero measure when $γ=\sqrt{2d}$. Two methods have been proposed to produce a non-trivial measure when $γ=\sqrt{2d}$. The first involves taking a derivative at $γ=\sqrt{2d}$ (and was studied in an earlier paper by the current authors), while the second involves a modified renormalization scheme. We show here that the two constructions are equivalent and use this fact to deduce several quantitative properties of the random measure. In particular, we complete the study of the moments of the derivative multiplicative chaos, which allows us to establish the KPZ formula at criticality. The case of two-dimensional (massless or massive) Gaussian free fields is also covered.

研究の動機と目的

• 標準的正規化がゼロ測度を与える臨界定常ガウス型自己無撞着確率測度の臨界定常ケースを解明すること。
• 微分型自己無撞着確率測度と標準的自己無撞着確率測度のセネタ＝ヘイド型正規化との同値性を証明すること。
• 微分型自己無撞着確率測度のモーメントを用いて、臨界におけるKPZ公式を完全に確立すること。
• 結果を2次元の質量なしおよび質量付きガウス自由場に拡張すること。
• 異なるカットオフスキームおよび自己共形不変性の下での臨界測度の普遍性を確認すること。

提案手法

• 白色雑音分解を用いて、共分散核 $K_t$ が対数的相関を持つ核 $K$ に収束する滑らかな近似場 $X_t$ の族を定義する。
• 標準的自己無撞着確率測度 $M^\gamma_t(dx) = e^{\gamma X_t(x) - \frac{\gamma^2}{2}\mathbb{E}[X_t(x)^2]}\,dx$ を構成し、$\gamma^2 < 2d$ のとき、これは確率的に $M^\gamma$ に収束する正のマルティンゲールを形成する。
• 微分型自己無撞着確率測度 $M'$ を、$\gamma = \sqrt{2d}$ における $M^\gamma$ の微分として定義し、形式的には $M'(dx) = (\sqrt{2d}\mathbb{E}[X(x)^2] - X(x))e^{\sqrt{2d}X(x) - d\mathbb{E}[X(x)^2]}\,dx$ と表される。
• セネタ＝ヘイド正規化を適用し、星型スケール不変核に対して $t \to \infty$ のとき $\sqrt{t}\,M^{\sqrt{2d}}_t \to \sqrt{\frac{2}{\pi}}\,M'$ が確率的に収束することを示す。
• GFFの変換則と自己共形不変性を用いて、極限臨界測度が自己共形写像のもとで正しく変換されることを示す。
• モーメント推定とブラウン運動とのカップリングを用いて、正規化された自己無撞着確率測度のtightnessおよび一様収束性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分に基づく臨界定常ガウス型自己無撞着確率測度とセネタ＝ヘイド正規化による構成法は同値であるか？
• RQ2 セネタ＝ヘイド正規化 $\sqrt{t}\,M^{\sqrt{2d}}_t$ は非自明な極限に収束するか？ そしてそれは微分型自己無撞着確率測度とどのような関係にあるか？
• RQ3 微分型自己無撞着確率測度のモーメントを用いて、臨界におけるKPZ公式を完全に確立できるか？
• RQ4 臨界定常測度は、異なるカットオフスキームに対して普遍的であり、自己共形変換に対して不変か？
• RQ5 2次元ガウス自由場（質量なしおよび質量付き）における臨界定常自己無撞着確率測度はどのように振る舞うか？

主な発見

• 臨界定常ガウス型自己無撞着確率測度における微分型自己無撞着確率測度は、標準的自己無撞着確率測度のセネタ＝ヘイド正規化極限と同値である。
• 正規化された測度 $\sqrt{t}\,M^{\sqrt{2d}}_t$ は確率的に $\sqrt{\frac{2}{\pi}}\,M'$ に収束する。ここで $M'$ は微分型自己無撞着確率測度である。
• 微分型自己無撞着確率測度のモーメントは完全に特徴づけられており、臨界におけるKPZ公式の完全な導出を可能にする。
• 臨界定常測度は普遍的である：星型スケール不変核に対しては、カットオフ手順の選択に依存しない。
• 臨界定常自己無撞着確率測度は期待通りに自己共形変換する：$M^{X\circ\psi + 2\ln|\psi'|, \widetilde{D}} = M^{X,D} \circ \psi^{-1}$ であり、自己共形不変性が確認される。
• 結果は2次元ガウス自由場（質量なしおよび質量付き）に拡張可能であり、両ケースでKPZ公式が成立する。