[論文レビュー] Gaussian multiplicative chaos and applications: a review

Rémi Rhodes, Vincent Vargas|arXiv (Cornell University)|May 27, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 73被引用数 29

ひとこと要約

本稿は、1985年にカナネが提唱したガウス型乗法的カオス（GMC）理論について包括的なレビューを提供する。この理論は、対数相関のあるガウス場の指数を用いて多スケール自己相似測度を厳密に構成することを目的としている。等半径グラフ上での離散的リーマン測度が連続的対応物に収束することを確立し、多スケール的形式を展開する。主な結果として、レベル集合のほとんど確実なハウスドルフ次元と、下臨界および臨界領域における収束性が得られている。

ABSTRACT

In this article, we review the theory of Gaussian multiplicative chaos initially introduced by Kahane's seminal work in 1985. Though this beautiful paper faded from memory until recently, it already contains ideas and results that are nowadays under active investigation, like the construction of the Liouville measure in 2d-Liouville quantum gravity or thick points of the Gaussian Free Field. Also, we mention important extensions and generalizations of this theory that have emerged ever since and discuss a whole family of applications, ranging from finance, through the Kolmogorov-Obukhov model of turbulence to 2d-Liouville quantum gravity. This review also includes new results like the convergence of discretized Liouville measures on isoradial graphs (thus including the triangle and square lattices) towards the continuous Liouville measures (in the subcritical and critical case) or multifractal analysis of the measures in all dimensions.

研究の動機と目的

• カナネ（1985）が提唱したガウス型乗法的カオス理論を体系的にレビューし、特に対数相関のあるガウス場の文脈でその拡張を図ること。
• 等半径グラフ上での離散化リーマン測度が、下臨界および臨界ケースにおいて連続的リーマン測度に収束することを確立すること。
• GMC測度の多スケール的形式を構築し、濃度点の特徴付けとレベル集合のハウスドルフ次元を含むこと。
• 2次元リーマン量子重力、乱流モデル（コルモゴロフ＝オブルホフ）、数学的ファイナンスといった分野における応用を統合的かつ一般化すること。
• 新規結果の提示、特に一般の等半径グラフ上でのGMC測度の収束および臨界定常性と原子測度の厳密な取り扱い。

提案手法

• 小さなパラメータεを用いた対数相関ガウス場の正則化により近似測度を定義し、ε → 0 における法則収束を証明する。
• カナネの凸性不等式とモーメント推定を用いて、正則化測度の正負のモーメントを制御する。
• ペイリエ測度と局所時間のスケーリング挙動を用いて多スケール的形式を展開し、Mγ(B(x,ε)) のlimsupおよびliminfの挙動に注目する。
• 等半径グラフ上での収束は、カップリングの議論とグリーン関数の推定を用い、元の場の定常性およびスケール不変性を活用して証明する。
• ハウスドルフ次元の導出には、ボレル＝カンテーリ型の議論と dyadic クローズ上での局所測度の下界に関するモーメント推定を用いる。
• 理論的道具としては、ガウス自由場（GFF）、対数相関共分散カーネル、2次元量子重力におけるKPZ関係式が用いられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 元の場が分布である場合に、GMC測度の形式的表現を数学的に厳密に定式化するにはどうすればよいか？
• RQ2 等半径グラフ上での離散化リーマン測度の極限挙動は何か？臨界定常領域でも収束が成立するか？
• RQ3 測度が r^{d−γ²/2} とスケーリングする「濃度点」の集合のハウスドルフ次元は何か？
• RQ4 多スケール的形式は、任意次元におけるGMC測度にどのように適用可能か？一般化測度 M_{qγ} におけるパrameter q の役割は何か？
• RQ5 GMC理論は2次元リーマン量子重力とKPZ関係式にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 等半径グラフ上での離散的リーマン測度は、下臨界および臨界定常領域において、ほとんど確実に連続的リーマン測度に収束する。
• Mγ(B(x,ε)) ≈ ε^{d−γ²/2} とスケーリングする点の集合は、ほとんど確実にハウスドルフ次元 d − γ²/2 を持つ。
• 多スケール的形式が成立する：適切な条件下で、局所次元αを持つ点の集合のハウスドルフ次元は d − γ²/2 + (γ²/2)(1 − 2α/γ²)² に等しい。
• 測度 M_{qγ} は、ほとんど確実に lim_{ε→0} ln M_{qγ}(B(x,ε)) / ln ε = d − q²γ²/2 を満たす点の集合に台を持つ。
• 正則化測度の負のモーメントは一様に有界であり、次元推定におけるボレル＝カンテーリ型議論の適用が可能になる。
• 本稿では、GFFにおける濃度点の集合がハウスドルフ次元 d − γ²/2 を持つことを証明し、物理学者の予測を裏付けた。