[論文レビュー] Renormalization of Feynman amplitudes on manifolds by spectral zeta regularization and blow-ups

Nguyen Viet Dang, Zhang, Bin|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2017

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 44被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ヒートカーネル積の特異性を解消するために複数の複素パラメータとブローアップを用いた、リーマン多様体上のフェニマン振幅に対するスペクトルゼータ正則化法を導入する。スペクトル正則化振幅が線形極を持つメロモーフィックジェルムに拡張されることを確立し、曲がった時空における量子場理論の整合性条件を満たす正則化写像を構成する。

ABSTRACT

Our goal in this paper is to present a generalization of the spectral zeta regularization for general Feynman amplitudes. Our method uses complex powers of elliptic operators but involves several complex parameters in the spirit of the analytic renormalization by Speer, to build mathematical foundations for the renormalization of perturbative interacting quantum field theories. Our main result shows that spectrally regularized Feynman amplitudes admit an analytic continuation as meromorphic germs with linear poles in the sense of the works of Guo-Paycha and the second author. We also give an explicit determination of the affine hyperplanes supporting the poles. Our proof relies on suitable resolution of singularities of products of heat kernels to make them smooth. As an application of the analytic continuation result, we use a universal projection from meromorphic germs with linear poles on holomorphic germs to construct renormalization maps which subtract singularities of Feynman amplitudes of Euclidean fields. Our renormalization maps are shown to satisfy consistency conditions previously introduced in the work of Nikolov-Todorov-Stora in the case of flat space-times.

研究の動機と目的

• 平坦な時空を超えて、コンパクトなリーマン多様体上のフェニマン振幅に対するスペクトルゼータ正則化を一般化すること。
• 複数の複素パラメータを用いた解析的正則化により、曲がった多様体上での摂動的量子場理論におけるフェニマン振幅の発散を扱うこと。
• ニコロフ–トドロフ–ストーラの整合性条件を満たす、曲がった背景における正則化の数学的枠組みを構築すること。
• 特異性の解消を通じて、正則化振幅の極が支持されるアフィン超平面を明示的に特定すること。
• 線形極を持つメロモーフィックジェルムから正則ジェルムへの普遍的射影を確立し、振幅における特異性の減算を可能にすること。

提案手法

• 楕円型作用素（例えばシュレーディンガー作用素）の複素巾を用いて、複数の複素パラメータを持つ複数のスペクトルゼータ関数を定義する。
• 計量グラフのスパニングツリーを用いた特異性の解消を適用し、パラメータ空間におけるヒートカーネル積の特異性を除去する。
• 変数変換と部分積分を用いて分布的位数を評価し、メロモーフィック続行における極を分解する。
• 局所正規座標を用いてリーマン距離を近似し、対角付近での特異的挙動を解析する。
• 線形極を持つメロモーフィックジェルムから正則ジェルムへの普遍的射影を用いて、正則化写像を定義する。
• Guo–Paychaおよび第二著者によって発展された線形極を持つメロモーフィックジェルムの理論に依拠し、数学的厳密性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自明な幾何を持つコンパクトなリーマン多様体上でのフェニマン振幅に対して、スペクトルゼータ正則化をどのように一般化できるか？
• RQ2 スペクトル正則化振幅の解析的続行における特異性（極）の構造はいかなるものか？
• RQ3 フェニマン振幅の特異性をどのように体系的に減算し、有限な正則化値を得られるか？
• RQ4 パラメータ空間におけるヒートカーネル積の特異性を解消するために、ブローアップとスパニングツリーは果たす役割は何か？
• RQ5 構築された正則化写像は、曲がった時空におけるニコロフ–トドロフ–ストーラの整合性条件を満たすか？

主な発見

• スペクトル正則化フェニマン振幅は、複数の複素パラメータにおける線形極を持つメロモーフィックジェルムとしての解析的続行を許容する。
• 極は、多様体の幾何とフェニマン図の構造に依存する明示的なアフィン超平面に支持される。
• ヒートカーネル積の特異性は、ブローアップと計量グラフのスパニングツリーを用いて解消され、滑らかな統合が可能になる。
• 普遍的射影を用いて構築された正則化写像は、曲がった時空におけるニコロフ–トドロフ–ストーラの整合性条件を満たす。
• 部分積分と正規座標におけるテイラー展開を用いて、正則化振幅の分布的位数が有界化される。
• 対角付近の主要特異性はリーマン計量によって記述され、距離関数の2次項テイラー展開が $ g_{ u au}(v)h^ u h^ au $ を与える。