[論文レビュー] Renyi-entropic bounds on quantum communication

Wim van Dam, Patrick Hayden|ArXiv.org|Apr 17, 2002

Quantum Information and Cryptography参考文献 24被引用数 29

ひとこと要約

本稿では、特にエンタングルメント支援下での双粒子量子状態の変換に関する、Rényiエントロピーに基づく量子通信複雑性の下界を導入する。マージナル密度行列のRényiエントロピーを分析することで、内積関数やシフトされた二次的特徴関数といった問題に対してタイトな下界を導出し、無制限のEPRペアが利用可能な状況でもほぼ最適な通信要件を示している。

ABSTRACT

In this article we establish new bounds on the quantum communication complexity of distributed problems. Specifically, we consider the amount of communication that is required to transform a bipartite state into another, typically more entangled, state. We obtain lower bounds in this setting by studying the Renyi entropy of the marginal density matrices of the distributed system. The communication bounds on quantum state transformations also imply lower bounds for the model of communication complexity where the task consists of the the distributed evaluation of a function f(x,y). Our approach encapsulates several known lower bound methods that use the log-rank or the von Neumann entropy of the density matrices involved. The technique is also effective for proving lower bounds on problems involving a promise or for which the "hard" distributions of inputs are correlated. As examples, we show how to prove a nearly tight bound on the bounded-error quantum communication complexity of the inner product function in the presence of unlimited amounts of EPR-type entanglement and a similarly strong bound on the complexity of the shifted quadratic character problem.

研究の動機と目的

• 双粒子量子状態間の状態変換における量子通信複雑性の新たな下界を確立すること。
• 対数ランクおよびvon Neumannエントロピーに基づく既存の下界技術を一般化・精緻化すること。
• 入力分布の相関性やプロミス制約を含む問題を、従来の手法が困難とする状況に対処すること。
• 内積関数や二次的特徴関数のような分散関数の量子プロトコルにおける通信コストを、無制限のEPRエンタングルメントが利用可能な状況で分析すること。
• Rényiエントロピーが、有界誤差量子通信設定においてほぼタイトな下界を示すための有効なツールであることを示すこと。

提案手法

• 双粒子量子状態の縮約密度行列のRényiエントロピーを主たる分析手法として用いる。
• 定理4.6を適用し、状態変換の通信コストを初期状態および目的状態のRényiエントロピーに関連付ける。
• Schmidt分解を用いてエンタングルメントを特徴付け、マージナル密度行列の固有値スペクトルを導出する。
• 近似誤差を定量化するために、Fidelityに基づく距離測度（UhlmannのFidelity）を用いる。
• 特定の問題に適用するため、入力ペアの均等重ね合わせを特徴とする初期状態および目的状態を構築する。
• 二次的特徴関数のシフト性質を用いて、最終状態のスペクトル的性質を計算し、エントロピーの下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期状態からよりエンタングルドな目的状態に変換するための最小量子通信量は何か？
• RQ2 von Neumannエントロピーまたは対数ランク法を超えて、Rényiエントロピーをどのようにして量子通信複雑性の下界を導出するのに用いることができるか？
• RQ3 Rényiエントロピー手法は、非一様または相関のある入力分布を含む問題、例えばプロミス問題に対しても効果的に適用可能か？
• RQ4 無制限のEPRペアが利用可能な状況で、内積関数の有界誤差量子通信複雑性は何か？
• RQ5 EPR支援プロトコル下で、シフトされた二次的特徴関数関数の通信コストは何か？

主な発見

• EPRエンタングルメントを伴う内積関数に関して、有界誤差通信複雑性は $ n + 2/\log(1 - 2\epsilon) $ で下界付けられ、ほぼ最適性が示された。
• $ \mathbb{F}_q $ 上の二次的特徴関数に関しては、通信複雑性が $ \log(q-1) - 2 + 2\log(1 - \epsilon) \leq Q^{(*)}_{\epsilon}(g) \leq \lceil \log q \rceil $ を満たし、ほぼタイトな下界が得られた。
• Rényiエントロピー手法は、対数ランクおよびvon Neumannエントロピーに基づく従来の下界技術を一般化・改善した。
• 本手法は、入力分布に相関性を含むプロミス問題に対しても効果的に適用可能であり、二次的特徴関数の例によって実証された。
• マージナル状態 $ \psi_A $ のRényiエントロピーは $ \log(q-1) $ である一方、$ \varphi_A $ のRényiエントロピーは2未満に有界であり、強力な下界が得られた。
• 下界 $ \bar{Q}^{(*)}_{\epsilon}(\psi_{AB}|\varphi_{AB}) \geq \log(q-1) - 2 + 2\log(1 - \epsilon) $ は、$ (\alpha, \beta) = (1/2, \infty) $ のRényiエントロピーを用いて導出された。