[論文レビュー] Replacing the host K_n by n-chromatic graphs in Ramsey-type results

Arie Bialostocki, András Gyárfás|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2015

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、完全グラフ $K_n$ から任意の $n$-彩色可能グラフへと、2つの古典的ラムゼー型定理—単色の全域木と単色のマッチングに関するもの—を拡張する。任意の $n$-彩色可能グラフの2色分けにおいて、$n$ 頂点の単色の木が存在することを証明し、また、彩色数が $n_1 + 1 + \sum (n_i - 1)$ 以上の $n$-彩色可能グラフの $t$ 色分けにおいて、ある $i$ に対してサイズ $n_i$ の単色マッチングが存在することを示し、エドーシュ–ラドとコッケイン–ローリマーの結果を一般化する。

ABSTRACT

We extend two well-known results in Ramsey theory from from $K_n$ to arbitrary $n$-chromatic graphs. The first is a note of Erd\H os and Rado stating that in every 2-coloring of the edges of $K_n$ there is a monochromatic tree on $n$ vertices. The second is the theorem of Cockayne and Lorimer stating that for positive integers satisfying $n_1=\max\{n_1,n_2,\dots,n_t\}$ and with $n=n_1+1+\sum_{i=1}^t (n_i-1)$, the following holds. In every coloring of the edges of $K_n$ with colors $1,2\dots,t$ there is a monochromatic matching of size $n_i$ for some $i\in \{1,2,\dots,t\}$.

研究の動機と目的

• 完全グラフ $K_n$ に対して証明された古典的ラムゼー型結果を、任意の $n$-彩色可能グラフへ一般化すること。
• 完全グラフ $K_n$ における辺彩色の下で保証される単色部分グラフ（木、マッチング）が、同じ条件下で任意の $n$-彩色可能グラフに対しても存在するかどうかを調査すること。
• 密度の高いホストグラフ（例：$K_n$）におけるラムゼー型定理が、彩色数が高くスパarsまたは構造的であるホストグラフへどの程度拡張可能かを検討すること。
• 彩色数が、辺彩色グラフにおける単色部分構造を強制する十分条件として果たす役割を調べること。
• 森（例：木、マッチング）が、$R(H_1,\dots,H_t)$-彩色可能グラフにおいて単色コピーが強制される意味で「良い」とされる条件を特定すること。

提案手法

• ハイパーグラフの双対性と二部多重グラフを用いて、2色分けされた $n$-彩色可能グラフにおける成分構造を分析し、辺彩色を通じて彩色数と成分サイズを関連付ける。
• 二部多重グラフの辺彩色に関するケーニヒの定理を適用し、彩色数を用いて最大成分サイズの上限を導出する。
• ホストグラフ $G$ の頂点集合上に完全グラフ $K$ を構成し、$G$ の辺彩色を補集合へと拡張し、新たな「色0」を導入して彩色完全グラフを形成する。
• 反例に対する最小性の議論を用いる：$\chi(G) = R$ を満たす最小の反例 $G$ を仮定し、より大きな適切に彩色された部分木を構成することで矛盾を導く。
• 適切に彩色された木とパスの構造的解析を用い、最大木において特定の色が欠落していると、辺の彩色の衝突により矛盾が生じることを示す。
• 頂点集合を独立集合に分割し、$t$ 色の $K_n$ へ写像することで、元のコッケイン–ローリマーの定理をブラックボックスとして還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全グラフ $K_n$ における任意の2辺彩色が単色全域木を含むというエドーシュ–ラドの結果が、任意の $n$-彩色可能グラフへ拡張可能か。
• RQ2 彩色数が $n_1 + 1 + \sum (n_i - 1)$ を超えるとき、$K_n$ におけるコッケイン–ローリマーの単色マッチング定理が $n$-彩色可能グラフへ一般化可能か。
• RQ3 どの森的グラフ $H_i$ に対して、任意の $R(H_1,\dots,H_t)$-彩色可能グラフが、$t$ 色分けの下で色 $i$ における $H_i$ の単色コピーを含むか。
• RQ4 彩色数が、ホストグラフが完全でない場合でも、単色部分構造を強制する十分条件となるか。
• RQ5 森的 $H_i$ に対して、すべての $i$ に対して色 $i$ における単色 $H_i$ を含まない $t$ 辺彩色 $R(H_1,\dots,H_t)$-彩色可能グラフが存在するか。

主な発見

• 任意の2辺彩色 $n$-彩色可能グラフには、$n$ 頂点の単色木が存在する。これは、$K_n$ から一般の $n$-彩色可能グラフへエドーシュ–ラドの結果を拡張するものである。
• 彩色数 $\chi(G) \geq n_1 + 1 + \sum_{i=1}^t (n_i - 1)$ を満たす $n$-彩色可能グラフ $G$ の任意の $t$ 色分けにおいて、ある $i$ に対してサイズ $n_i$ の単色マッチングが存在する。これはコッケイン–ローリマーの定理を一般化する。
• 証明は、$G$ の完全グラフ拡張上に適切に彩色された部分木を構成し、それが真の色を欠いていると仮定すると矛盾が生じることに依拠している。
• ホストグラフの彩色数は、ホストが完全でない場合でも、単色部分構造を強制する十分条件として機能する。
• 結果はタイトである：彩色数の閾値 $n_1 + 1 + \sum (n_i - 1)$ は、反例構成の最小性により必要不可欠である。
• 森的グラフ $H_1,\dots,H_t$ に対して、$R(H_1,\dots,H_t)$-彩色可能グラフが色 $i$ における単色 $H_i$ を避ける例は知られていないため、このようなグラフは常に「良い」と考えられる。