[論文レビュー] Reply to Comment on ``Time-dependent quasi-Hermitian Hamiltonians and the unitary quantum evolution''

Miloslav Znojil|ArXiv.org|Nov 5, 2007

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、最近のコメントにおける誤った仮定を反駁することで、時刻に依存する擬ヒルベルト型量子系における時間発展演像のユニタリティを擁護する。ユニタリティは時間に依存しない計量演算子を要しないことを示し、標準的な時間に依存する擬ヒルベルト型性条件 $ H(t)^\dagger = \Theta(t)H(t)\Theta(t)^{-1} $ が十分であることを明らかにし、混乱の根本的原因として表記に関する曖昧さを指摘する。

ABSTRACT

In his fresh "Comment" (arXiv:0711.0137v1), A. Mostafazadeh reacts on my very recent letter (arXiv:0710.5653v1) where I tried to clarify certain misunderstandings which occurred in A. M., Phys. Lett. B extbf{650}, 208 (2007) [arXiv:0706.1872v2, "Paper"]. As long as the "Comment" offers a new support of the original assertions made in the "Paper", I feel obliged to re-clarify the matter by extending my argumentation. I insist that it is possible to escape the main conclusion of the "Paper", indeed. In particular, I point out a gap in the new calculations in "Comment", add a few remarks on the notation and reconfirm that the unitarity of the time-evolution DOES NOT require the time-independence of the metric operator.

研究の動機と目的

• 時刻に依存する擬ヒルベルト型ハミルトニアンとユニタリな時間発展演像に関する最近のコメントにおける誤解を是正すること。
• 計量演算子 $ \Theta(t) $ が時間に依存しても、時間発展演像のユニタリティが保たれることを示すこと。
• 複数のヒルベルト空間の役割と、擬ヒルベルト型量子力学における双対空間の適切な取り扱いの理解を明確にすること。
• 進化演算子および内積の定義に関して誤った結論を導く原因となる表記上の曖昧さを解消すること。
• 物理的状態関数の双対空間 $ \mathcal{H}^{(\Theta)} $ における線形汎関数を明確に区別するため、二重角括弧表記 $ \langle\!\langle \cdot | $ の使用を提唱すること。

提案手法

• 時間発展演像演算子 $ u(t) $ を、$ h(t) = \omega(t) H(t) \omega(t)^{-1} $（ここで $ \omega = \sqrt{\Theta} $）を用いて再表現し、ユニタリなダイナミクスを保証する。
• 補助的演算子 $ U_R(t) = \omega(t)^{-1} u(t) \omega(0) $ を定義し、基準ヒルベルト空間と物理的ヒルベルト空間における時間発展演像を結ぶ。
• $ \Theta(t) = U_R(t)^{-1\dagger} \Theta(0) U_R^{-1} $ を用いて、$ \Theta(t) $ の正しい時間発展演像を導出し、コメントにおける誤った仮定を是正する。
• コメントで使われた $ i\hbar \partial_t U_R(t) = H(t) U_R(t) $ という仮定が誤っており、$ U_R(t) $ の定義と矛盾することを示す。
• 時刻に依存する擬ヒルベルト型性の正しい条件は $ H(t)^\dagger = \Theta(t) H(t) \Theta(t)^{-1} $ であり、誤った進化方程式ではないことの確立。
• 標準的ヒルベルト空間 $ \mathcal{H}^{(\text{stand})}_{\text{phys}} $、基準空間 $ \mathcal{H}^{(\text{ref})} $、物理的空間 $ \mathcal{H}^{(\Theta)} $（ここで $ \Theta = \Omega^\dagger \Omega $）の区別を設け、双対空間構造を明確にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 擬ヒルベルト型ハミルトニアン系における計量演算子 $ \Theta(t) $ の時間依存性が、必然的にユニタリな時間発展演像を破壊するのであろうか？
• RQ2 時刻に依存する擬ヒルベルト型系における計量演算子 $ \Theta(t) $ の時間発展演像を記述する正しい力学的方程式は何か？
• RQ3 なぜ $ i\hbar \partial_t U_R(t) = H(t) U_R(t) $ という仮定が、時刻に依存する擬ヒルベルト型ハミルトニアンの文脈で誤った結論を導くのか？
• RQ4 標準的、基準的、物理的という複数のヒルベルト空間構造が、時刻に依存する擬ヒルベルト型量子力学においてどのように相互作用するのか？
• RQ5 時刻に依存する擬ヒルベルト型量子理論の定式化において、概念的・技術的誤りを防ぐための表記規則は何か？

主な発見

• 時刻に依存する擬ヒルベルト型系における時間発展演像のユニタリティは、計量演算子 $ \Theta(t) $ が時間に依存しても成立する。
• コメントで用いられた仮定 $ i\hbar \partial_t U_R(t) = H(t) U_R(t) $ は誤っており、$ U_R(t) $ の定義と矛盾する。
• 正しい計量の時間発展演像は $ \Theta(t) = U_R(t)^{-1\dagger} \Theta(0) U_R^{-1} $ で与えられ、$ U_R(t) $ の定義から一貫して導出可能である。
• 標準的な時間に依存する擬ヒルベルト型性条件 $ H(t)^\dagger = \Theta(t) H(t) \Theta(t)^{-1} $ は、ユニタリな時間発展演像にとって有効かつ十分である。
• 混乱の原因は、異なるヒルベルト空間表現における双対空間の混同という表記の誤用に起因する。
• 物理的ヒルベルト空間 $ \mathcal{H}^{(\Theta)} $ における線形汎関数を明確に区別するため、二重角括弧表記 $ \langle\!\langle \cdot | $ の使用を著者らは提唱する。