[論文レビュー] Representation Formulae and Monotonicity of the Generalized k-Bessel Functions

Saiful R. Mondal|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2016

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、一般化されたk-ベッセル関数 $\mathtt{W}^{\mathtt{k}}_{\nu,c}(x)$ を導入し、その表現式を導出し、2階微分方程式を満たすことを証明するとともに、単調性および対数凸性の性質を確立する。主な貢献は、積分表現とチェビシェフの不等式を用いて、$\mathtt{W}^{\mathtt{k}}_{\nu,-1}(x)$ に対するツァラプ型不等式（逆不等式を含む）を導出したことにある。

ABSTRACT

This paper introduces and studies a generalization of the $\mathtt{k}$-Bessel function of order $ν$ given by \[\mathtt{W}^{\mathtt{k}}_{ν, c}(x):= \sum_{r=0}^\infty \frac{(-c)^r}{Γ_{\mathtt{k}}\left( r \mathtt{k} +ν+\mathtt{k} ight) r!} \left(\frac{x}{2} ight)^{2r+\fracν{\mathtt{k}}}. \] Representation formulae are derived for $\mathtt{W}^{\mathtt{k}}_{ν, c}.$ Further the function $\mathtt{W}^{\mathtt{k}}_{ν, c}$ is shown to be a solution of a second order differential equation. Monotonicity and log-convexity properties for the generalized $\mathtt{k}$-Bessel function $\mathtt{W}^{\mathtt{k}}_{ν, c}$ are investigated, particularly in the case $c=-1$. Several inequalities, including the Turán-type inequality are established.

研究の動機と目的

• k-ガンマ関数を用いて古典的ベッセル関数および修正ベッセル関数を一般化し、一般化されたk-ベッセル関数 $\mathtt{W}^{\mathtt{k}}_{\nu,c}(x)$ を導入すること。
• 積分表現および表現式を導出し、再帰関係を含むこと。
• 一般化されたk-ベッセル関数 $\mathtt{W}^{\mathtt{k}}_{\nu,c}(x)$ が2階微分方程式を満たすことを確立し、古典的ベッセル方程式および修正ベッセル方程式を一般化すること。
• 特に $c = -1$ の場合について、$\mathtt{W}^{\mathtt{k}}_{\nu,c}(x)$ の単調性および対数凸性を調査し、ツァラプ型不等式を導出すること。

提案手法

• 一般化されたk-ベッセル関数は、k-ガンマ関数 $\Gamma_{\mathtt{k}}(x)$ を含むべき級数によって定義され、古典的ベッセル関数を一般化する。
• 積分表現を用いて、$\cos(\tfrac{xt}{\sqrt{\mathtt{k}}})$ および $\cosh(\tfrac{xt}{\sqrt{\mathtt{k}}})$ を含む表現式が導出される。
• 級数の直接微分により、関数 $\mathtt{W}^{\mathtt{k}}_{\nu,c}(x)$ が2階微分方程式を満たすことが示される。
• 各項が $\nu$ に関して対数凸であることを示し、対数凸関数の和も対数凸であることを用いて、対数凸性が証明される。
• チェビシェフの積分不等式を適切に選ばれた関数 $f$、$g$、重み関数 $q(t)$ に適用することで、ツァラプ型不等式が導出される。
• 関数 $f(t) = (1-t^2)^{\nu/\mathtt{k} - 1/2}$ および $g(t) = (1-t^2)^{\nu/\mathtt{k} + 1/2}$ の $[0,1]$ における単調性の分析により、不等式が確立される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにしてk-ガンマ関数を用いて古典的ベッセル関数を一般化し、新たな関数族を定義できるか？
• RQ2 一般化されたk-ベッセル関数 $\mathtt{W}^{\mathtt{k}}_{\nu,c}(x)$ が満たす微分方程式は何か？
• RQ3 固定された $x > 0$ および $\mathtt{k} > 0$ に対して、一般化されたk-ベッセル関数 $\mathtt{W}^{\mathtt{k}}_{\nu,c}(x)$ は $\nu$ に関して対数凸か？
• RQ4 $\mathtt{W}^{\mathtt{k}}_{\nu,-1}(x)$ に対してツァラプ型不等式を確立できるか？その条件は何か？
• RQ5 パラメータ $\nu$ および $c$ の符号に応じて、関数の単調性および凸性の性質はどのように変化するか？

主な発見

• 一般化されたk-ベッセル関数 $\mathtt{W}^{\mathtt{k}}_{\nu,c}(x)$ は、$\mathtt{k} = 1$ かつ $c = \pm 1$ のとき、古典的ベッセル方程式および修正ベッセル方程式に帰着する2階微分方程式を満たす。
• 各固定された $x > 0$ に対して、$\mathtt{W}^{\mathtt{k}}_{\nu,-1}(x)$ は $\nu \in (-\mathtt{k}, \infty)$ で対数凸である。これは、その級数項が対数凸であるためである。
• 逆ツァラプ型不等式が $\mathcal{I}_{\nu}^{\mathtt{k}}(x)$ に対して成立する：$\left(\mathcal{I}_{\nu}^{\mathtt{k}}(x)\right)^2 - \mathcal{I}_{\nu-a}^{\mathtt{k}}(x)\mathcal{I}_{\nu+a}^{\mathtt{k}}(x) \leq 0$ が $\nu \geq |a| - \mathtt{k}$ のとき成り立つ。
• $\nu \in (-3\mathtt{k}/4, -\mathtt{k}/2] \cup [\mathtt{k}/2, \infty)$ のとき、不等式 $\mathcal{I}_{\nu}^{\mathtt{k}}(x)\mathcal{I}_{\nu+\mathtt{k}/2}^{\mathtt{k}}(x) \leq \frac{\sqrt{\mathtt{k}}}{x}\sin\left(\frac{x}{\mathtt{k}}\right)\mathcal{I}_{2\nu+\mathtt{k}/2}^{\mathtt{k}}(x)$ が成り立つ。
• $\nu \in (-\mathtt{k}/2, \mathtt{k}/2)$ のとき、不等式は逆転し、双曲余弦を含む $\mathcal{J}_{\nu}^{\mathtt{k}}(x)$ の積分形に対しても同様の結果が成り立つ。