[論文レビュー] Representation-independent manipulations with Dirac matrices and spinors

Palash B. Pal|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2007

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 3被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、行列表現に依存しない形式的枠組みを提示し、ディラック行列やスピンルーチンを、その基本的な代数的性質—特にクリフォード代数の関係式とエルミート性条件—のみを用いて操作する。具体的には、特定の行列表現に依存しない。主な貢献は、ユニタリ変換に対して明示的に不変であることが保証される、ガンマ行列、スピンルーチン、および双線形量に関する恒等式を体系的に導出することである。これにより、すべての表現で一貫性が保たれ、表現依存の計算による落とし穴を回避できる。

ABSTRACT

Dirac matrices, also known as gamma matrices, are defined only up to a similarity transformation. Usually, some explicit representation of these matrices is assumed in order to deal with them. In this article, we show how it is possible to proceed without any such assumption. Various important identities involving Dirac matrices and spinors have been derived without assuming any representation at any stage.

研究の動機と目的

• 量子場理論の計算において、ディラック行列やスピンルーチンの特定の行列表現に依存しないようにすること。
• ユニタリ変換に対して不変である、ディラック行列とスピンルーチンに関連する恒等式を導出することにより、すべての表現で有効であるようにすること。
• スピンルーチンの正規化および双線形量の表現に依存しない厳密な枠組みを提供すること。
• 特にメジャノラ場に関連して、ディラック行列の実または虚数表現に関する制約を明確にすること。

提案手法

• 定義された反交換関係 $\{\gamma_\mu, \gamma_\nu\}_+ = 2g_{\mu\nu}$ とエルミート性条件 $\gamma_\mu^\dagger = \gamma_0\gamma_\mu\gamma_0$ のみを用いて恒等式を導出する。
• ユニタリ同値性 $\tilde{\gamma}_\mu = U\gamma_\mu U^\dagger$ を用いて、導出された恒等式が不変であることを保証する。
• 双線形不変量に基づく、表現に依存しないスピンルーチンの解や正規化条件の定義を導入する。
• 反対称化されたレヴィ・チビタテンソルの恒等式を用いて、エプシロンテンソルとガンマ行列のトレースの関係を導出する。
• クリフォード代数における基底行列の構造を分析し、実性／虚数性に基づいて対称的および反対称的成分に分類する。
• メジャノラ表現を事例として取り上げ、すべての $\gamma_\mu$ が純虚数であることは可能であるが、すべてが実数であることは不可能であることを、対称的／反対称的行列の次元的制約から示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ディラック行列やスピンルーチンに関連する恒等式は、特定の行列表現を仮定せずに導出可能か？
• RQ2 ディラック行列の表現において、すべての行列が実数または純虚数であるための条件は何か？
• RQ3 スピンルーチンの正規化および双線形不変量は、表現に依存しない形でどのように定義できるか？
• RQ4 $4\times4$ 行列の対称性の性質が、$\gamma_\mu$ の実または虚数表現に及ぼす制約は何か？
• RQ5 なぜすべての $\gamma_\mu$ 行列を実数にすることはいかなる表現でも不可能であるが、すべてが虚数であることは可能なのか？

主な発見

• ディラック行列とスピンルーチンに関して導出されたすべての恒等式は、ユニタリ変換に対して不変であり、すべての表現で有効であることが保証される。
• 任意の表現における反対称的 $4\times4$ 行列の数は、$\gamma_0$ および $\gamma_i$ の実性／虚数性に依存し、それぞれ $N_A = 10$ または $6$ となる。
• すべての $\gamma_\mu$ 行列が実数であることは不可能である。これは10個の反対称的基底行列を必要とするが、最大で6個までしか存在できないためである。
• すべての $\gamma_\mu$ が純虚数であるメジャノラ表現は存在し、この場合、ディラック方程式は実数解をもつ。
• スピンルーチン場は、いかなる表現でも純実数にはならない。なぜなら、ディラック方程式においてスピンルーチンを乗じる行列が実数ではあり得ないからである。
• 電荷共役行列 $C$ の反対称性は、クリフォード代数における16個の基底行列の対称性制約の直接的な結果である。