[論文レビュー] Representation of small conformal algebra

D.M. Belov|ArXiv.org|Oct 21, 2002

Advanced Topics in Algebra参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ストリング場理論の$\kappa$-基底における小スカラー代数生成子$L_{-1}, L_0, L_1$が、核作用素ではなく差分作用素として実現されることを確立し、以前の核作用素としての未定義性の問題を解決する。主な結果は、$L_0$および$L_{\pm1}$のシュワーツ関数上への作用について、複素数のシフトと$\kappa$の平方根を含む明示的な積分表現が得られ、連続基底におけるバーバラ代数構造を保存するものである。

ABSTRACT

In hep-th/0202087 it was argued that the operator L_0 is bad defined in kappa-basis as a kernel operator. Indeed, we show that L_0 is a difference operator. We also find a representation of L_1 and L_{-1} in a class of difference operators.

研究の動機と目的

• 以前の文献（hep-th/0202087）で指摘された、$\kappa$-基底における$L_0$が核作用素として未定義である問題を解消すること。
• $L_{-1}, L_0, L_1$からなる小スカラー代数$\{L_{-1}, L_0, L_1\}$を、差分作用素を用いて$\kappa$-基底で明示的に定義すること。
• シュワーツ関数上への$L_0$、$L_1$、$L_{-1}$の作用について、明示的な関数的表現を提供し、バーバラ代数関係と整合することを保証すること。
• 作用素が複素$\kappa$-平面における$-2 < \Im\kappa < 2$の領域の正則関数上で定義されており、$i2^{-}$表記を用いて極へと制御された近づき方を示すこと。

提案手法

• $L_0$の1粒子状態への作用を、関係式$[L_0, a^\dagger(f)] = a^\dagger(L_0[f])$を介して導出し、フォック空間上の作用をシュワーツ空間に翻訳する。
• $L_0$の逆作用素を定義し、グリーン関数$G_0$を導入し、固有関数生成関数の線積分を用いてその核を計算する。
• 複素解析を用いて核$G_0(\kappa, \kappa')$を評価し、$\pm i$における対数的分岐カットの周りで留数の変形を行い、$\text{csch}$および$\tanh$を含む既知の積分恒等式を適用する。
• 恒等式$\int_{-\infty}^\infty \mathscr{P}\frac{1}{\sinh 2u} e^{i\beta u} du = \pi i \tanh(\pi\beta/4)$を用いて得られる積分を評価する。
• $L_1$および$L_{-1}$を同様の戦略で構成し、単一の生成・消滅作用素構造を活用して、$[L_{\pm1}, a^\dagger(f)] = a^\dagger(L_{\pm1}[f])$によりその作用を定義する。
• 得られた作用素が連続基底において正しい$[L_{-1}, L_1] = 2L_0$および$[L_0, L_{\pm1}] = \pm L_{\pm1}$の交換関係を満たすことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ$\kappa$-基底における$L_0$は核作用素として未定義であり、一貫した方法で再定義可能か？
• RQ2 差分作用素を用いて、$\kappa$-基底における小スカラー代数$\{L_{-1}, L_0, L_1\}$を一貫して表現可能か？
• RQ3 $\kappa$-基底におけるシュワーツ関数上への$L_0$、$L_1$、$L_{-1}$の明示的な関数的形は何か？
• RQ4 作用素は複素$\kappa$-平面における特異点や分岐カット（特に$\kappa \pm 2i$近辺）をどのように扱うか？
• RQ5 提案された差分作用素は、連続$\kappa$-基底における標準的なバーバラ代数関係を保存するか？

主な発見

• 作用素$L_0$は差分作用素として作用する：$L_0[f](\kappa) = \frac{1}{4}\left[\sqrt{\kappa(\kappa + i2^{-})}f(\kappa + i2^{-}) + \sqrt{\kappa(\kappa - i2^{-})}f(\kappa - i2^{-})\right]$。これは、$-2 < \Im\kappa < 2$の領域における正則関数上で定義される。
• 作用素$L_1$は$ L_1[f](\kappa) = -\frac{\kappa}{2}f(\kappa) + \frac{i}{4}\left[\sqrt{\kappa(\kappa + i2^{-})}f(\kappa + i2^{-}) - \sqrt{\kappa(\kappa - i2^{-})}f(\kappa - i2^{-})\right] $で与えられる。
• 作用素$L_{-1}$は$ L_{-1}[f](\kappa) = -\frac{\kappa}{2}f(\kappa) - \frac{i}{4}\left[\sqrt{\kappa(\kappa + i2^{-})}f(\kappa + i2^{-}) - \sqrt{\kappa(\kappa - i2^{-})}f(\kappa - i2^{-})\right] $で与えられる。
• 作用素$L_0$のグリーン関数$G_0$は明示的に$G_0(\kappa, \kappa') = \left[\frac{\theta(\kappa)}{\kappa}\right]^{1/2}\left[\frac{\theta(\kappa')}{\kappa'}\right]^{1/2}\frac{1}{4\cosh\left[\frac{\pi}{4}(\kappa - \kappa')\right]}$として計算され、ここで$\theta(\kappa) = 2\tanh(\pi\kappa/4)$である。
• $L_0$、$L_1$、$L_{-1}$の作用素はシュワーツ関数に作用する際に、正しいバーバラ代数交換関係を満たしており、一貫性が確認された。
• 導出結果により、$L_0$は分布的核として表現できないことが確認され、代わりに$\kappa \pm 2i$における極の近くで制御された解析的挙動を示す、明確に定義された差分作用素であることが判明した。