[論文レビュー] Representation theory of $L_k\left(\mathfrak{osp}(1 | 2) ight)$ from vertex tensor categories and Jacobi forms

Thomas Creutzig, Jesse Frohlich+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 28被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、頂点テンソル圏理論とヤコビ形式の分解を組み合わせることで、許容的レベル $k$ における単純なアフィン頂点演算子超代数 $L_k(\mathfrak{osp}(1|2))$ の表現論を確立する。すべての単純な局所的およびラムド・ツイストモジュールを分類し、ヴェルレンドの公式を用いてその超融合規則を計算し、頂点代数の拡張とモジュラーデータを用いて、パラフェルミオン的余分分類 $C_k = \mathrm{Com}(V_L, L_k(\mathfrak{osp}(1|2)))$ の融合規則を特定する。

ABSTRACT

The purpose of this work is to illustrate in a family of interesting examples how to study the representation theory of vertex operator superalgebras by combining the theory of vertex algebra extensions and modular forms. Let $L_k\left(\mathfrak{osp}(1 | 2) ight)$ be the simple affine vertex operator superalgebra of $\mathfrak{osp}(1|2)$ at an admissible level $k$. We use a Jacobi form decomposition to see that this is a vertex operator superalgebra extension of $L_k(\mathfrak{sl}_2)\otimes ext{Vir}(p, (p+p')/2)$ where $k+3/2=p/(2p')$ and $ ext{Vir}(u, v)$ denotes the regular Virasoro vertex operator algebra of central charge $c=1-6(u-v)^2/(uv)$. Especially, for a positive integer $k$, we get a regular vertex operator superalgebra and this case is studied further. The interplay of the theory of vertex algebra extensions and modular data of the vertex operator subalgebra allows us to classify all simple local (untwisted) and Ramond twisted $L_k\left(\mathfrak{osp}(1 | 2) ight)$-modules and to obtain their super fusion rules. The latter are obtained in a second way from Verlinde's formula for vertex operator superalgebras. Finally, using again the theory of vertex algebra extensions, we find all simple modules and their fusion rules of the parafermionic coset $C_k = ext{Com}\left(V_L, L_k\left(\mathfrak{osp}(1 | 2) ight) ight)$ where $V_L$ is the lattice vertex operator algebra of the lattice $L=\sqrt{2k}\mathbb{Z}$.

研究の動機と目的

• 頂点テンソル圏とモジュラー形式を用いて、頂点演算子超代数の表現論を体系的に研究するための方法を開発すること。
• 特に正の整数 $k$ に対して、許容的レベル $k$ における $L_k(\mathfrak{osp}(1|2))$ のすべての単純な局所的およびラムド・ツイストモジュールを分類すること。
• ヴェルレンドの公式を用いて $L_k(\mathfrak{osp}(1|2))$ の超融合規則を計算し、拡張理論によってその妥当性を確認すること。
• $V_L$ を $L = \sqrt{2k}\mathbb{Z}$ の格子頂点代数とするとき、パラフェルミオン的余分分類 $C_k = \mathrm{Com}(V_L, L_k(\mathfrak{osp}(1|2)))$ の融合規則を特定すること。

提案手法

• ヤコビ形式の分解を用いて、$L_k(\mathfrak{osp}(1|2))$ の特徴を $L_k(\mathfrak{sl}_2) \otimes \mathrm{Vir}(p, \Delta/2)$ の特徴の線形結合として表現する。ここで $k + 3/2 = p/(2p')$ かつ $\Delta = p + p'$ である。
• 頂点代数の拡張理論を適用し、$L_k(\mathfrak{sl}_2) \otimes \mathrm{Vir}(p, \Delta/2)$ からの拡張として $L_k(\mathfrak{osp}(1|2))$ を実現する。この際、表現カテゴリ内の代数的対象を用いる。
• 拡張された頂点演算子超代数の局所的モジュールを構成するために、$\mathrm{Rep}^0 A$ からの誘導関手 $\mathcal{F}$ を利用する。
• カテゴリカルな $S$-行列とアンダーソンの定理を用い、モジュラー $S$-行列をフロベニウス＝ペロン次元に関連づけ、ヴェルレンドの公式により融合規則を計算する。
• $\mathcal{L}_k^{\mathrm{even}}$ の偶数部に [CKLR, CKM] の結果を適用し、$\mathcal{L}_k^{\mathrm{even}}$-モジュールの部分モジュールとして $C_k$-モジュールを分類し、局所的またはツイストされた $\mathcal{L}_k$-モジュールに引き上げる。
• $\theta_{L+\nu}(u,\tau)$ と $\eta(\tau)$ を含むtheta関数と特徴の恒等式を用いて、$C_k$-モジュールの $S$-変換および $T$-変換の明示的公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 拡張理論を用いて、既知の有理的頂点演算子代数から $L_k(\mathfrak{osp}(1|2))$ の表現論を体系的に導出する方法は何か？
• RQ2 許容的 $k$ に対して、$L_k(\mathfrak{osp}(1|2))$ のすべての単純な局所的およびラムド・ツイストモジュールの完全な分類は何か？
• RQ3 ベースカテゴリのモジュラーデータとヴェルレンドの公式から、$L_k(\mathfrak{osp}(1|2))$ の超融合規則はどのようにして導かれるか？
• RQ4 パラフェルミオン的余分分類 $C_k = \mathrm{Com}(V_L, L_k(\mathfrak{osp}(1|2)))$ の構造は何か？ その融合規則はどのように計算されるか？
• RQ5 $C_k$-特徴のモジュラー変換は、誘導と特徴の引き上げを通じて $\mathcal{L}_k$-モジュールのそれらとどのように関係するか？

主な発見

• 正の整数 $k$ に対して、$L_k(\mathfrak{osp}(1|2))$ は有理的かつ $C_2$-cofiniteであり、有限かつ半単純な表現カテゴリを保証する。
• $\mathcal{L}_k$-局所的モジュールのカテゴリは、$L_k(\mathfrak{sl}_2) \otimes \mathrm{Vir}(p, \Delta/2)$ を拡張する代数的対象 $A$ に対する $\mathrm{Rep}^0 A$ とブレード同値である。
• すべての単純な局所的およびラムド・ツイスト $\mathcal{L}_k$-モジュールは、$L_k(\mathfrak{sl}_2) \otimes \mathrm{Vir}(p, \Delta/2)$ からの誘導によって分類され、合計で $4k+4$ 個の非同型の既約モジュールが存在する。
• 超融合規則は、$\widetilde{S}$-行列を用いたヴェルレンドの公式により計算され、$r$ の偶奇に応じて別々の式が得られる。
• パラフェルミオン的余分分類 $C_k$ には、$\lambda \in L'/L$ および $1 \leq r \leq 2k+2$ を用いて添字付けられた $2k+2$ 個の非同型の単純モジュール $C_{\lambda,r}$ が存在し、融合規則は $C_{\lambda,r} \boxtimes C_{\mu,r'} \cong \bigoplus_{r''} N_{r,r'}^{r''} C_{\lambda+\mu,r''}$ で与えられる。
• $C_k$ の $S$-行列は、$\lambda, \mu \notin 2L'/L$ のとき $S^{\chi,C}_{C_{\lambda,r_1}, C_{\mu,r_2}} \cdot e^{2\pi i \langle \lambda,\mu \rangle} \cdot \sqrt{k/2} = (-1)^{r+r'} s_{r,r'}$ を満たし、他の場合についても同様の式が成り立つ。