[論文レビュー] Representation Theory of Superconformal Algebras and the Kac-Roan-Wakimoto Conjecture

Tomoyuki Arakawa|arXiv (Cornell University)|May 6, 2004

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、単純なリー超代数 ${\mathfrak{g}}$ の最低根に対応する根ベクトル $f_\theta$ を持つ超 conformal 代数 ${\mathcal{W}}_k({\mathfrak{g}},f_\theta)$ について、Kac-Roan-Wakimoto予想を証明する。任意の $k\in\mathbb{C}$ におけるこの ${\mathcal{W}}$-代数の非可約最高重量表現の特徴は、量子 BRST 減少を介して、その対応する $\widehat{{\mathfrak{g}}}$-加群の特徴によって完全に決定される。主な結果は、BRST コホロロジー $H^i(V)$ が $i\neq0$ のとき消えること、および $\langle\lambda,\alpha_0^\vee\rangle\notin\{0,1,2,\dots\}$ のとき $H^0(L(\lambda))$ が非可約 ${\mathcal{W}}$-加群を生成することを示している。

ABSTRACT

We study the representation theory of the superconformal algebra $W_k(g,f_θ)$ associated with a minimal gradation of $g$. Here, $g$ is a simple finite-dimensional Lie superalgebra with a non-degenerate, even supersymmetric invariant bilinear form. Thus, $W_k(g,f_θ)$ can be one of the well-known superconformal algebras including the Virasoro algebra, the Bershadsky-Polyakov algebra, the Neveu-Schwarz algebra, the Bershadsky-Knizhnik algebras, the N=2 superconformal algebra, the N=4 superconformal algebra, the N=3 superconformal algebra and the big N=4 superconformal algebra. We prove the conjecture of V. G. Kac, S.-S. Roan and M. Wakimoto for $W_k(g,f_θ)$. In fact, we show that any irreducible highest weight character of $W_k(g,f_θ)$ at any level $k\in C$ is determined by the corresponding irreducible highest weight character of the Kac-Moody affinization of $g$.

研究の動機と目的

• 単純なリー超代数 ${\mathfrak{g}}$ の最低根に対応する根ベクトル $f_\theta$ を持つ超 conformal 代数 ${\mathcal{W}}_k({\mathfrak{g}},f_\theta)$ について、Kac-Roan-Wakimoto予想を証明すること。
• ${\mathcal{W}}_k({\mathfrak{g}},f_\theta)$ の非可約最高重量表現と $\widehat{{\mathfrak{g}}}$ のそれらの間の明確な対応関係を確立すること。
• BRST コホロロジー $H^\bullet(L(\lambda))$ が非可約またはゼロであり、任意の非可約 ${\mathcal{W}}$-加群の特徴が、ある $\lambda$ に対して $H^0(L(\lambda))$ から生じることを示すこと。

提案手法

• 量子 BRST 減少を用いて、${\mathcal{O}}_k$ の $\widehat{{\mathfrak{g}}}$-加群のカテゴリから ${\mathcal{W}}_k({\mathfrak{g}},f_\theta)$-加群への関手 $V \mapsto H^i(V)$ を構成する。
• スペクトル系列の技法を用いて BRST コホロロジーを分析し、特に $E_1^{\bullet,q} \cong H^0(G^{-1}C_{-}(\lambda)^*) \otimes H^q(C_{-}(\lambda)^*_{\xi_\lambda}, d^{\mathrm{st}})$ の分解を用いる。
• スペクトル系列が $E_1$ で収束し、高次のコホロロジーが消えることを示すことにより、$H^i(V) = 0$ ($i \neq 0$) を確立する。
• 同型 $E_\infty \cong H^0(G^{-1}C_{-}(\lambda)^*) \otimes (E_\infty)_{\xi_\lambda}$ を用いて、$L(\lambda)$ のコホロロジーと $M(\lambda)^*$ のコホロロジーを関連付ける。
• アデミッスィブ重みの理論と条件 $\langle \lambda, \alpha_0^\vee \rangle \notin \{0,1,2,\dots\}$ を用いて、非可約 $H^0(L(\lambda))$ を分類する。
• $A(1,1)$ の場合にこの枠組みを適応するため、カルタン部分代数を拡張し、$K$ と $\mathbf{D}$ を含むようにアフィンリー超代数 $\widetilde{{\mathfrak{g}}}$ を再定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ${\mathcal{W}}_k({\mathfrak{g}},f_\theta)$ の文脈において、アデミッスィブ重み $\lambda$ のとき、BRST コホロロジー $H^\bullet(L(\lambda))$ は非可約またはゼロの加群をもたらすか？
• RQ2 任意の非可約最高重量表現の ${\mathcal{W}}_k({\mathfrak{g}},f_\theta)$ の特徴は、対応する $\widehat{{\mathfrak{g}}}$-加群 $L(\lambda)$ の特徴のみによって決定可能か？
• RQ3 すべての $V \in \mathrm{Obj}\,{\mathcal{O}}_k$ に対して、BRST コホロロジー $H^i(V)$ は $i \neq 0$ のとき消えるか？
• RQ4 $\lambda$ にどのような条件下で $H^0(L(\lambda))$ が非可約 ${\mathcal{W}}_k({\mathfrak{g}},f_\theta)$-加群に同型になるか？
• RQ5 BRST複体のスペクトル系列解析は、高次コホロロジーの収束と $H^0(L(\lambda))$ が非可約加群として特定されることにどのように寄与するか？

主な発見

• 任意の $k \in \mathbb{C}$ に対して、すべての $i \neq 0$ とすべての $V \in \mathrm{Obj}\,{\mathcal{O}}_k$ に対して BRST コホロロジー $H^i(V)$ は消える。これは関手 $V \mapsto H^0(V)$ が完全であることを示している。
• $\langle \lambda, \alpha_0^\vee \rangle \in \{0,1,2,\dots\}$ のとき、非可約 $\widehat{{\mathfrak{g}}}$-加群 $L(\lambda)$ に対して $H^0(L(\lambda)) = 0$ であり、そうでない場合には非可約 ${\mathcal{W}}_k({\mathfrak{g}},f_\theta)$-加群に同型である。
• ${\mathcal{W}}_k({\mathfrak{g}},f_\theta)$ のすべての非可約最高重量表現の特徴は、対応する非可約 $\widehat{{\mathfrak{g}}}$-加群 $L(\lambda)$ の特徴によって、対応 $H^0(L(\lambda)) \mapsto \mathrm{ch}(L(\lambda))$ を介して完全に決定される。
• BRST複体のスペクトル系列は $E_1$ で収束し、$E_\infty \cong H^0(G^{-1}C_{-}(\lambda)^*) \otimes (E_\infty)_{\xi_\lambda}$ となる。これにより、コホロロジーが零次のコホロロジーと安定コホロロジーのテンソル積に同定される。
• この結果により、${\mathcal{W}}_k({\mathfrak{g}},f_\theta)$ における Kac-Roan-Wakimoto予想が確認され、以前の最小系列およびアデミッスィブ表現に関する結果が拡張される。
• $A(1,1)$ の場合に、$\widetilde{{\mathfrak{g}}}$ をカルタン部分代数 $\widehat{{\mathfrak{h}}} = {{\mathfrak{h}}} \oplus \mathbb{C}K \oplus \mathbb{C}\mathbf{D}$ を持つリー超代数として定義することにより、この枠組みを拡張する。これにより、コホロロジー構造が一貫性を保つ。