[論文レビュー] Representation theory of Yang-Mills algebras

Estanislao Herscovich, Andréa Solotar|ArXiv.org|Jul 24, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、$n \geq 3$ のとき、すべてのウェイル代数 $A_r(k)$ が、結合的ヤン・ミルズ代数 ${\mathrm{YM}}(n)$ のエピモルフィックな像であることが確立され、ウェイル代数の既知の表現理論を ${\mathrm{YM}}(n)$ に移すことが可能になる。主な結果は、これらの表現が ${\mathrm{YM}}(n)$ の点を分離する十分な大きさの族を形成することであり、代数の無限次元的ゲルファンド＝キリロフ次元にもかかわらず、豊富な無限次元表現が得られることを示している。

ABSTRACT

The aim of this article is to describe families or representations of the Yang-Mills algebras YM(n) (where n>1) defined by Connes and Dubois-Violette. We first describe irreducible finite dimensional representations. Next, we provide families of infinite dimensional representations of YM(n), big enough to separate points of the algebra. In order to prove this result, we use that all Weyl algebras Ar(k) are epimorphic images of YM(n).

研究の動機と目的

• ヤン＝ミルズ代数 ${\mathrm{YM}}(n)$ の表現族を記述すること。その族は代数の非ゼロ元を区別するのに十分な大きさである。
• 本稿で完全に分類されている有限次元既約表現を超えて、${\mathrm{YM}}(n)$ の表現理論を拡張すること。
• ${\mathrm{YM}}(n)$ における点を分離する、ウェイル代数から導かれる表現の族が、${\mathrm{YM}}(n)$ のすべての非ゼロ元に非自明な作用を持つことを確立すること。
• ${\mathrm{YM}}(n)$ がすべての $r \geq 1$ に対して $A_r(k)$ に全射であることを示すこと。$n \geq 3$ のとき、自由リーイデアル構造を用いる。

提案手法

• 著者たちは、${\mathfrak{ym}}(n)$ の部分代数 ${\mathfrak{tym}}(n) \subset {\mathfrak{ym}}(n)$ を特定し、それがリー代数として自由であることを示す。これは他の代数への準同型の構成に不可欠である。
• キリロフの軌道法を用いて、その普遍包あらたな代数がウェイル代数であるようなリー代数への ${\mathfrak{ym}}(n)$ のリー代数準同型を構成する。
• 証明は、普遍包あらたな代数 ${\mathrm{TYM}}(n) = {\mathcal{U}}({\mathfrak{tym}}(n))$ のモデルを構築することに依拠し、そのバー複体をホモロジー的解析を簡素化する同型的バージョンに置き換える。
• 彼らは、${\mathfrak{ym}}(n)/{\mathcal{C}}^l({\mathfrak{ym}}(n))$ の剰余の冪零性を用いて、${\mathrm{YM}}(n)$ が $A_r(k)$ に射影する合成写像と同型写像を介して射影されることを示す。
• ${\mathcal{W}}(n)$ は、$A_r(k)$ を通じて因数分解する ${\mathrm{YM}}(n)$-加群のフル部分圏として定義され、包あらたな代数における極大イデアルの交差を用いて、その点を分離する性質が証明される。
• 有限次元リー代数の普遍包あらたな代数のジャコブソン根基がゼロであるという事実を用いて、非ゼロ元に非自明な作用を持つことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n \geq 3$ のとき、${\mathrm{YM}}(n)$ の無限次元表現を構成し、その代数の点を分離できるか？
• RQ2 ${\mathrm{YM}}(n)$ からすべての $r \geq 1$ に対してウェイル代数 $A_r(k)$ への準同型写像が存在するか？
• RQ3 ${\mathfrak{ym}}(n)$ に自由リーイデアルが存在するならば、軌道法による表現の体系的構成が可能になるか？
• RQ4 ウェイル代数の表現理論を ${\mathrm{YM}}(n)$ に移すことで、豊富で有用な表現族を得られるか？

主な発見

• 定理 1.1 により、$n \geq 3$ のとき、すべての $r \geq 1$ に対して、ウェイル代数 $A_r(k)$ は ${\mathrm{YM}}(n)$ のエピモルフィックな像である。
• ${\mathfrak{tym}}(n) = \bigoplus_{j \geq 2} {\mathfrak{ym}}(n)_j$ は自由リー代数である。これは重要な構造的結果である。
• ${\mathcal{W}}(n)$ は、$A_r(k)$ を通じて因数分解する ${\mathrm{YM}}(n)$-加群の族であり、命題 4.12 で ${\mathrm{YM}}(n)$ の点を分離することが証明された。
• この構成は ${\mathrm{YM}}(n)$ のすべての表現を生じさせない。${\mathcal{W}}(n)$ の加群のゲルファンド＝キリロフ次元は最大で $2r$ であるが、${\mathrm{YM}}(n)$ 自身は無限次元のゲルファンド＝キリロフ次元を持つ。
• ${\mathrm{YM}}(n)$ の正則表現（無限次元のゲルファンド＝キリロフ次元を持つ）は、${\mathcal{W}}(n)$ の任意の加群と同型でない。これは、この族が不完全であることを示している。
• $n=2$ のときは、${\mathfrak{tym}}(2)$ が自由でない（1つの生成子からの自由リー代数に同型）ため、証明が成立しない。