[論文レビュー] Representation zeta functions of some compact p-adic analytic groups

Nir Avni, Benjamin Klopsch+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 18被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、キリロフの軌道法、p進積分、クラッフ理論を用いて、特徴0の離散付値環上のコンパクトp進解析的群の明示的表現ゼータ関数を計算する新しい手法を開発する。ファボ（FAb）コンパクトp進解析的群の収束のabszisseに対する一般的境界を確立し、SL₂(𝔬)、SL₁(𝔇)、および残差類数3および非分岐環の場合のSL₃(𝔬)の主合同部分群を含む群に対して正確な公式を提示する。

ABSTRACT

Using the Kirillov orbit method, novel methods from p-adic integration and Clifford theory, we study representation zeta functions associated to compact p-adic analytic groups. In particular, we give general estimates for the abscissae of convergence of such zeta functions. We compute explicit formulae for the representation zeta functions of some compact p-adic analytic groups, defined over a compact discrete valuation ring O of characteristic 0. These include principal congruence subgroups of SL_2(O), without any restrictions on the residue field characteristic of O, as well as the norm one group SL_1(D) of a non-split quaternion algebra D over the field of fractions of O and its principal congruence subgroups. We also determine the representation zeta functions of principal congruence subgroups of SL_3(O) in the case that O has residue field characteristic 3 and is unramified over Z_3.

研究の動機と目的

• FAbコンパクトp進解析的群の表現ゼータ関数の収束のabszisseに対する一般的境界を確立すること。
• 特定の条件下で、SL₂(𝔬)、SL₁(𝔇)、およびSL₃(𝔬)の主合同部分群の表現ゼータ関数に対する明示的公式を導出すること。
• 特に残差類数3の場合に、p進解析的群における表現成長の理解を一般ケースを超えて拡張すること。
• 表現ゼータ関数の収束abszisseを決定するにあたり、リー代数不変量ρおよびσの役割を分析すること。
• 非分裂四元数的群およびその合同部分群における表現成長を体系的かつ包括的に取り扱うこと。

提案手法

• 可換双対性の軌道法を用いて、リー代数内のコアドジョイント軌道と既約表現を関連付ける。
• p進積分技術を用いて軌道積分を計算し、測度論的手法により表現数を数える。
• クラッフ理論を用いて正規部分群の表現を分析し、それらを完全群に誘導する。
• リー代数における最小および最大中心化子次元から導かれる不変量ρおよびσを導入し、収束abszisseの上限を定める。
• コンパクトな離散的付値環𝔞上のリー格子の構造を活用して、主合同部分群を定義・研究する。
• 特徴3のGL₃(𝔽_q)における共役類の分類を個別に適用し、ゼータ関数計算に不可欠な軌道数およびサイズを計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 FAbコンパクトp進解析的群の表現ゼータ関数の収束abszisseに対する一般的境界は何か？
• RQ2 SL₂(𝔬)およびその主合同部分群の表現ゼータ関数に対して、明示的公式をどのように導出できるか？
• RQ3 p進体上の非分裂四元数的代数のノルム1群SL₁(𝔇)の表現ゼータ関数の構造は何か？
• RQ4 残差類数3の場合、SL₃(𝔬)の表現成長は一般ケースとどのように異なるか？
• RQ5 正の特徴における有限リー代数における軌道型および共役類数が、正標数でのゼータ関数計算に果たす役割は何か？

主な発見

• SL₂(𝔬)の主合同部分群に対して、p > 2 のとき $ q^{3m} \frac{1 - q^{-2 - s}}{1 - q^{1 - s}} $ が、p = 2 かつ環が非分岐のとき $ q^{3m} \frac{q^2 - q^{-s}}{1 - q^{1 - s}} $ として表現ゼータ関数が明示的に計算される。
• 2e(\mathfrak{k},\mathbb{Q}_p) < p - 1 を満たすp進体上の非分裂四元数的代数のノルム1群SL₁(𝔇)に対して、ゼータ関数は $ \frac{(q+1)(1 - q^{-s}) + 4(q-1)((q+1)/2)^{-s}}{1 - q^{1 - s}} $ に等しい。
• 主合同部分群 $ \operatorname{SL}_1^m(\mathfrak{R}) $ の表現ゼータ関数は $ q^{3m} \frac{q - q^{-1 - s}}{1 - q^{1 - s}} $ に等しい。
• 非分岐環および残差類数3のSL₃(𝔬)に対して、GL₃(𝔽_q)における特徴3の共役類の分類を用いてゼータ関数が明示的に計算される。
• $ \mathsf{G}^m = \exp(\mathfrak{p}^m \mathfrak{g}) $ の収束abszisseは、$ (d - 2\rho)\rho^{-1} \leq \alpha(\mathsf{G}^m) \leq (d - 2\sigma)\sigma^{-1} $ を満たす。ここでρおよびσはリー代数の不変量である。
• 本稿は、これらの群の表現成長が多項式的であることを確立し、成長の次数が収束abszisseによって正確に決定されることを示している。