[論文レビュー] An explicit theory of $\pi_{1}^{\un,\crys}(\mathbb{P}^{1} - \{0,\mu_{N},\infty\})$ - II-2 : From standard algebraic relations of weighted multiple harmonic sums to those of cyclotomic $p$-adic multiple zeta values

David Jarossay|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2016

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ひとこと要約

本稿は、Frobenius作用と比較写像を通じて、重み付き多重調和和への代数的関係との明示的関係を確立することにより、巡回的p進多重ゼータ値の明示的理論を構築する。p進多重ゼータ値の二重シャッフル関係がFrobenius作用と比較写像と両立することを示し、調和和および過収束ハイパーログの観点から、準shuffle関係の明示的実現を提供する。

ABSTRACT

Let $X_{0}=\mathbb{P}^{1} - (\{0,\infty\} \cup \mu_{N}) ext{ }/ ext{ }\mathbb{F}_{q}$, with $N \in \mathbb{N}^{\ast}$ and $\mathbb{F}_{q}$ of characteristic $p>0$ and containing a primitive $N$-th root of unity. We establish an explicit theory of the crystalline pro-unipotent fundamental groupoid of $X_{0}$. In part I, we have computed explicitly the Frobenius, and in particular cyclotomic $p$-adic multiple zeta values. In part II, we use part I to understand the algebraic relations of cyclotomic $p$-adic multiple zeta values via explicit formulas ; this is in particular a study of the harmonic Ihara actions and the maps of comparisons between them introduced in I-2 and I-3. In II-1, we have developed the basics of algebraic theory of cyclotomic sequences of prime weighted multiple harmonic sums and adjoint cyclotomic multiple zeta values viewed as variants of those of the algebraic theory of cyclotomic multiple zeta values. In this II-2, we use part I and II-1 to show that one can read some standard algebraic relations of cyclotomic $p$-adic multiple zeta values via the explicit formulas and via the standard algebraic relations of sequences of multiple harmonic sums. This amounts to say that the harmonic Ihara actions and the comparison maps are compatible with algebraic relations. The two main results are two "harmonic" versions of Besser-Furusho-Jafari's theorem that $p$-adic multiple zeta values satisfy the regularized double shuffle relations. This gives two different answers to what we could call "the adjoint variant" of a question of Deligne and Goncharov about reading the quasi-shuffle relation of $p$-adic multiple zeta values via explicit formulas.

研究の動機と目的

• 調和イハラ作用と比較写像を用いて、巡回的p進多重ゼータ値の明示的代数的理論を確立すること。
• 標準的な代数的関係、特に二重シャッフル関係が、重み付き多重調和和の関係から再構成可能であることを示すこと。
• 過収束p進ハイパーログの文脈において、調和イハラ作用と比較写像が代数的関係とどのように両立するかを示すこと。
• 結晶的プロ一イリニアリゼーション群の族へのFrobenius作用の明示的公式を提供し、代数的構造の移行を可能にすること。
• デリーニとゴンチャロフの『随伴バージョン』の問いを、調和的類似物を用いて明示的公式により解消すること。

提案手法

• 結晶的基本群族へのFrobenius作用から導かれる、巡回的p進多重ゼータ値の明示的公式を用いる。
• 調和イハラ作用（◦har）と比較写像（Σ）を用い、多重調和和の代数的構造とp進ゼータ値の構造との関係を確立する。
• 調和イハラ作用のトロスを用いて、DR、DR-RT、RTなどの異なる枠組み間での代数的関係の反映を研究する。
• Frobenius反復によって定義される過収束p進ハイパーログL†p,αを用い、シャッフル積構造をモデル化する。
• 明示的公式 har†p,αn(w) = n−weight(w) × [z^n]Li†p,α(w) を用い、調和和とp進ゼータ値を結びつける。
• Li†p,αのシャッフル関係が、Frobeniusの両立性により、harnとζp,αのシャッフル関係に同等であることを活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な代数的関係が、重み付き多重調和和の関係から明示的に再構成可能か。
• RQ2 調和イハラ作用と比較写像は、p進ゼータ値の文脈における代数的関係とどのように相互作用するか。
• RQ3 p進多重ゼータ値の二重シャッフル関係が、Frobenius作用と明示的公式とどの程度両立するか。
• RQ4 p進多重ゼータ値の準shuffle関係が、調和和および過収束ハイパーログを通じて明示的に実現可能か。
• RQ5 巡回的p進多重ゼータ値に対して、Besser-Furusho-Jafari定理の調和的類似物は存在するか。

主な発見

• 本稿は、Besser-Furusho-Jafari定理の二つの「調和的」版を証明し、巡回的p進多重ゼータ値が明示的公式を通じて二重シャッフル関係を満たすことを確立した。
• 調和イハラ作用と比較写像が代数的関係と両立することが示され、関係の構造がこれらの写像のもとでも保存されることを示した。
• 過収束p進ハイパーログLi†p,αのシャッフル関係が、明示的に畳み込み恒等式として実現された：∑_{m=1}^{n-1} har†p,αm(w) har†p,αn−m(w′) = har†p,αn(w x w′)。
• 明示的公式 har†p,αn(w) = n−weight(w) × [z^n]Li†p,α(w) により、p進調和和とp進ゼータ値の母関数が結びつけられた。
• 基本群族へのFrobenius作用が調和和に整合的な構造を誘導し、harnの代数的関係がζp,αに引き継がれることを保証した。
• 母関数Φp,αはシャッフル関係を満たし、これはharnおよびζp,αのシャッフル関係と同等であることが確認され、明示的フレームワークの整合性が裏付けられた。