[論文レビュー] Representations of Bihom-Lie algebras

Yongsheng Cheng, Huange Qi|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2016

Advanced Topics in Algebra参考文献 8被引用数 26

ひとこと要約

この論文は、2つの可換な乗法的構造写像を持つホム・リーレイの一般化であるバイホム・リーレイのコホモロジー理論および表現論を開発する。同論文では、随伴表現および自明表現を導入し、ねじれた随伴作用を用いてコホモロジー複体を定義し、1次コサイクルが随伴表現において一般化された微分作用素に正確に対応することを示している。これは、古典的なリーレイ代数の結果をバイホム設定に拡張するものである。

ABSTRACT

Bihom-Lie algebra is a generalized Hom-Lie algebra endowed with two commuting multiplicative linear maps. In this paper, we study cohomology and representations of Bihom-Lie algebras. In particular, derivations, central extensions, derivation extensions, the trivial representation and the adjoint representation of Bihom-Lie algebras are studied in detail.

研究の動機と目的

• ホム・リーレイ代数の表現およびコホモロジー理論を、より一般なバイホム・リーレイ代数の設定に拡張すること。
• 正則バイホム・リーレイ代数の随伴表現および自明表現を定義し、それらを研究すること。
• 中心拡大が自明表現における第二コホモロジー群によって分類されることを確立すること。
• 随伴表現における1次コサイクルが、形式 $\alpha^{s+2}\beta^{t-1}$-微分作用素に正確に対応することを示すこと。
• $\alpha^s\beta^t$-随伴表現に関連するコホモロジー複体を構築し、その整合性を証明すること。

提案手法

• 正則バイホム・リーレイ代数上での $\alpha^s\beta^t$-随伴表現を、$\alpha$ および $\beta$ の写像を含むねじれた作用を用いて導入する。
• $\alpha$ および $\beta$ に対して不変なコチェーンからなるバイホム・コチェーン複体 $C_{\alpha,\beta}^k(L;L)$ を定義し、特に $C_{\alpha,\beta}^0(L;L)$ は $\alpha$-および $\beta$-固定点からなる。
• $\alpha^s\beta^t$-随伴表現に対するコバウンダリー作用素 $d_{s,t}$ を構成し、括弧項とねじれた評価を組み合わせる。
• $\alpha^s\beta^t$-随伴複体を用いてコホモロジー群 $H^k(L;\text{ad}_{s,t}) = Z^k(L;\text{ad}_{s,t})/B^k(L;\text{ad}_{s,t})$ を定義する。
• コホモロジー群の整合性を保証するため、$\alpha$ および $\beta$ に関する不変性とバイホム・ジャコビ恒等式を用いて、$\alpha^s\beta^t$-随伴表現が整合的であることを証明する。
• 1次コサイクルと一般化された微分作用素との関係を確立するため、$d_{s,t}(D) = 0$ が成り立つのは、$D$ が $\alpha^{s+2}\beta^{t-1}$-微分作用素であるときに限ることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バイホム・リーレイ代数の表現論は、特に随伴表現および自明表現に関して、どのように体系的に展開できるか？
• RQ2 $\alpha^s\beta^t$-ねじれた随伴作用は、バイホム・リーレイ代数のコホモロジーを定義する上で果たす役割は何か？
• RQ3 バイホム・リーレイ代数の中心拡大は、自明表現における第二コホモロジー群とどのように関係しているか？
• RQ4 随伴表現における1次コサイクルの正確な特徴づけは何か？ そして、それらは微分作用素とどのように関係するか？
• RQ5 コホモロジー群 $H^0(L;\text{ad}_{s,t})$ および $H^1(L;\text{ad}_{s,t})$ は、代数の中心および微分作用素構造とどのように関係しているか？

主な発見

• $\alpha^s\beta^t$-随伴表現は、$\alpha$ および $\beta$ に関する不変性とバイホム・ジャコビ恒等式の閉包性を確認することで、正則バイホム・リーレイ代数上で整合的であることが示された。
• 随伴表現における1次コサイクル $D$ は、$D$ が $\alpha^{s+2}\beta^{t-1}$-微分作用素であることと同値である。これは、古典的なリーレイ代数の結果を一般化するものである。
• 零次コホモロジー群 $H^0(L;\text{ad}_{s,t})$ は、$\alpha$ および $\beta$ で固定され、すべての要素 $v\in L$ に対して括弧で可換であるような要素 $u$ からなる。すなわち、すべての $v\in L$ に対して $[u,v]=0$ が成り立つ。
• 一次コホモロジー群 $H^1(L;\text{ad}_{s,t})$ は、$\alpha^{s+2}\beta^{t-1}$-微分作用素と内部微分作用素の商に同型である。すなわち、$Der_{\alpha^{s+2}\beta^{t-1}}(L)/Inn_{\alpha^{s+2}\beta^{t-1}}(L)$ に同型である。
• バイホム・リーレイ代数の中心拡大は、自明表現における第二コホモロジー群によって分類され、これは古典的なリーレイ代数理論における分類を拡張するものである。
• $\alpha^s\beta^t$-随伴表現のコホモロジー複体は、コバウンダリー作用素 $d_{s,t}$ に関して閉じており、これによりコホモロジー理論の有効性が保証される。