[論文レビュー] Representations of finite groups on Riemann-Roch spaces

David Joyner, Will Traves|ArXiv.org|Oct 26, 2002

Coding theory and cryptography参考文献 21被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、代数曲線上の除数のリーマン・ロッホ空間に作用する有限群の表現論を調査し、群作用の既約成分の次元が、群が曲線上で作用する最小の軌道のサイズ以下であることを証明している。この結果は、明示的な例によって鋭いことが示され、特に代数幾何（AG）符号における順列符号化との関連が検討され、有限体上のハイパーエリプティック曲線における符号化の複雑さに関する予想が提示されている。

ABSTRACT

We study the action of a finite group on the Riemann-Roch space of certain divisors on a curve. If $G$ is a finite subgroup of the automorphism group of a projective curve $X$ over an algebraically closed field and $D$ is a divisor on $X$ left stable by $G$ then we show the irreducible constituents of the natural representation of $G$ on the Riemann-Roch space $L(D)=L_X(D)$ are of dimension $\leq d$, where $d$ is the size of the smallest $G$-orbit acting on $X$. We give an example to show that this is, in general, sharp (i.e., that dimension $d$ irreducible constituents can occur). Connections with coding theory, in particular to permutation decoding of AG codes, are discussed in the last section. Many examples are included.

研究の動機と目的

• 曲線上の除数のリーマン・ロッホ空間に作用する有限群の作用から生じる既約表現の構造を特定すること。
• 群表現の既約成分の次元に対する上界を、曲線上の軌道サイズの観点から確立すること。
• このような群作用と代数幾何（AG）符号における順列符号化との関連を調査すること。
• 特にハイパーエリプティック曲線 $y^2 = x^p - x$ からの明示的例を提示し、理論の説明と符号化効率に関する予想の裏付けとすること。
• 有限体 $\mathbb{F}_p$ および $\mathbb{F}_{p^2}$ 上の特定の1点AG符号に対して、順列符号化が常に $O(p^2)$ の複雑さで適用可能であると予想すること。

提案手法

• 代数閉体上での滑らかで射影的な曲線 $X$ に作用する有限群 $G$ の作用を分析し、$G$ により不変な除数 $D$ に注目する。
• リーマン・ロッホ定理を用いて $L(D)$ の次元を genus と $D$ の次数に関連づけ、$G$ が $L(D)$ に誘導する表現を研究する。
• 群作用の理論を適用し、$G$ が $L(D)$ に作用する場合の既約表現の次元が、$X$ 上での $G$-軌道の最小サイズ $d$ 以下であることを示す。
• 射影直線 $\mathbb{P}^1$ およびハイパーエリプティック曲線 $y^2 = x^p - x$ からの例を用いて、一般理論の説明と境界の鋭さの検証を行う。
• 計算代数システム（MAGMA）を用いて、AG符号の生成行列、重み分布、および置換群を計算する。
• 曲線の自己同型群の符号の置換群内での像が、軌道構造と群作用に基づいて順列符号化用のPD集合（PD-set）として機能すると提案する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限群 $G$ が曲線上の $G$-不変除数 $D$ のリーマン・ロッホ空間 $L(D)$ に作用する場合、$G$ の既約表現の最大次元は何か？
• RQ2 既約成分の次元に関する境界は達成可能か？ もしそうなら、どのような幾何的条件下で達成されるか？
• RQ3 曲線およびそのリーマン・ロッホ空間における群作用と、代数幾何符号の構成および符号化の関係は何か？
• RQ4 有限体 $\mathbb{F}_p$ および $\mathbb{F}_{p^2}$ 上の曲線 $y^2 = x^p - x$ から得られる1点AG符号に対して、順列符号化は常に適用可能か？
• RQ5 このような符号の順列符号化の計算複雑度は何か？ また、自己同型群のサイズによって上界を示せるか？

主な発見

• 群 $G$ が $L(D)$ に作用する場合の既約成分の次元は、曲線 $X$ 上での $G$-軌道の最小サイズ $d$ 以下である。この境界は、明示的な例によって鋭いことが示されている。
• $\mathbb{F}_p$ 上の曲線 $y^2 = x^p - x$ に対して、長さ $n = p$ の1点AG符号は $p = 7$ のとき、置換自己同型群の位数が $42$ であり、$|S \cup S \cdot S|$ のサイズのPD集合を有することが判明した。
• $p = 13$ のとき、符号の長さは $13$、次元は $5$、最小距離は $9$ であり、置換群は互換と $13$-サイクルによって生成され、最大 $4$ エラーの順列符号化が可能である。
• $\mathbb{F}_{49}$ 上のトレース符号 $y^2 = x^7 - x$ に対して、置換群の位数は $1,073,852,196$ に達し、大きな自己同型群を示している一方で、曲線自体の自己同型群の位数は $672$ である。
• 曲線の自己同型群 $G = \mathrm{Aut}_F(X)$ の符号の置換群内での像は $G$ に同型であり、$D$ および $E$ が異なる軌道の和である場合、$G$ が符号 $C(D,E)$ のPD集合として機能することが示唆される。
• 予想17は、$\mathbb{F}_p$ 上の曲線 $y^2 = x^p - x$ から得られる1点AG符号に対して、順列符号化が常に $O(p^2) = O(n^2)$ の複雑さで適用可能であると主張しており、既知のアルゴリズムと一致する。