[論文レビュー] Semi-positivity in positive characteristics

Zsolt Patakfalvi|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、正標数 $p > 0$ において、$F$-純度が強く、$K_{X/Y} + \Delta$ のインデックスが $p$ で割り切れないという仮定の下で、対数相対 canonical バンドル $K_{X/Y} + \Delta$ 及びその押し出しの半正定性結果を確立する。$K_{X/Y} + \Delta$ がネフであり、十分大きな $m$ に対して $f_*\mathcal{O}_X(m(K_{X/Y} + \Delta))$ がネフなベクトル束であることを証明し、Kodaira の消失定理や解析的技法を回避する。この結果は、モジュライ空間のプロジェクトーリティおよび canonical ディバイザーの大きさの加法性に関する応用を持つ。

ABSTRACT

Let $f : (X, Δ) o Y$ be a flat, projective family of sharply $F$-pure, log-canonically polarized pairs over an algebraically closed field of characteristic $p >0$ such that $p mid \ind(K_{X/Y} + Δ)$. We show that $K_{X/Y} + Δ$ is nef and that $f_* (\sO_X(m (K_{X/Y} + Δ)))$ is a nef vector bundle for $m \gg 0$ and divisible enough. Some of the results also extend to non log-canonically polarized pairs. The main motivation of the above results is projectivity of proper subspaces of the moduli space of stable pairs in positive characteristics. Other applications are Kodaira vanishing free, algebraic proofs of corresponding positivity results in characteristic zero, and special cases of subadditivity of Kodaira-dimension in positive characteristics.

研究の動機と目的

• 正標数における対数相対 canonical バンドルの正定性結果を、解析的技法や Kodaira の消失定理に依存せずに確立すること。
• $f: (X,\Delta) \to Y$ が、$p \nmid \operatorname{ind}(K_{X/Y} + \Delta)$ を満たす、$F$-純度で、対数正則に極化された族として平坦かつ射影的であるとき、$K_{X/Y} + \Delta$ がネフであり、$m \gg 0$ に対して $f_*\mathcal{O}_X(m(K_{X/Y} + \Delta))$ がネフなベクトル束であることを証明すること。
• 対数正則に極化されていないが、$K_{X/Y} + \Delta$ が $f$-アーマーで、ファイバーがネフな対数 canonical バンドルを持つような場合に、これらの結果を拡張すること。
• 特徴零標数における半正定性結果の、Kodaira の消失定理に依存しない代数的証明を、正標数から持ち上げることにより与えること。
• 正標数における安定対のモジュライ空間のプロジェクトーリティを支援し、canonical ディバイザーの大きさの加法性を確立すること。

提案手法

• 正標数における log- canonical 特異性の類似物として、特に sharp $F$-purity を用いた $F$-特異性の理論を用いる。
• 基底変換とコホロロジー的技法を適用し、代数閉体への還元および閉点への特殊化を経て、$f_*\mathcal{O}_X(m(K_{X/Y} + \Delta))$ の押し出しを分析する。
• $p$ で割り切れないインデックスを持つ $\mathbb{Q}$-Cartier ディバイザーの概念を用い、Frobenius および $F$-正則性と整合性を持つようにする。
• $F$-純度が代数的閉包および基底変換に関して安定であることを利用し、閉ファイバーから全体空間への性質の持ち上げを実現する。
• [Laz04, Proposition 1.4.13] のネフ性の基準を用い、閉点でのネフ性が全体空間でのネフ性を示すことを示す。
• 持ち上げ論法と特殊化を組み合わせ、正標数の結果から特徴零標数の結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kodaira の消失定理や解析的技法に依存せずに、正標数において $f_*\mathcal{O}_X(m(K_{X/Y} + \Delta))$ の半正定性を確立できるか。
• RQ2 $p$ が $K_{X/Y} + \Delta$ のインデックスを割り切らないという仮定は必須であるか、あるいは取り除けるか。
• RQ3 対数正則に極化されたファイバーという強い仮定を弱めた場合でも、canonical ディバイザーの大きさの加法性を正標数で証明できるか。
• RQ4 滑らかなモデルが存在する場合に、Kodaira 次元に特殊化する正標数における双有理不変量は存在するか。
• RQ5 $f_*\mathcal{O}_X(m(K_{X/Y} + \Delta))$ がネフであるような $m$ の有効な下界を示せるか。

主な発見

• 代数閉体の正標数 $p > 0$ 上で、平坦かつ射影的であるような sharply $F$-pure で、対数正則に極化された対 $(X,\Delta) \to Y$ の族 $f: (X,\Delta) \to Y$ に対して、$p \nmid \operatorname{ind}(K_{X/Y} + \Delta)$ ならば、対数相対 canonical バンドル $K_{X/Y} + \Delta$ はネフである。
• 十分大きな $m$ に対して、$m$ が十分に大きく、$f_*\mathcal{O}_X(m(K_{X/Y} + \Delta))$ はネフなベクトル束である。
• 対数正則に極化されていないが、$K_{X/Y} + \Delta$ が $f$-アーマーで、ファイバーがネフな対数 canonical バンドルを持つ場合には、この結果は拡張可能である。
• canonical ディバイザーの大きさの加法性が成り立つ：$K_Y$ が $\mathbb{Q}$-Cartier かつ大きい、$K_{X/Y} + \Delta$ が $f$-半正則であり、一般ファイバー $F$ に対して $K_F + \Delta|_F$ が大きいならば、$K_X + \Delta$ は大きい。
• 本稿は、正標数から持ち上げることにより、特徴零標数における半正定性結果の新しい代数的証明を提供し、解析的または消失理論的技法を回避する。
• 証明は、閉ファイバー（代数的閉包への基底変換後）でのネフ性が、全体空間でのネフ性を示すことを示し、ネフ性の領域の開性を用いる。