[論文レビュー] Representations of residually finite groups by isometries of the Urysohn space

Vladimir Pestov, Vladimir Uspenskij|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、普遍的ウリソン距離空間 𝕌 における等長変換による残留有限群の表現が、すべて点별に有限像を持つ表現によって近似可能であることを確立する。先行研究の洗練された構成を応用して、𝕌 の等長群がキルヒバーグの性質を満たすことを証明し、その結果、このような近似が表現空間において稠密であることが示され、作用素代数におけるコンヌの埋め込み予想に影響を及ぼす。

ABSTRACT

As a consequence of Kirchberg's work, Connes' Embedding Conjecture is equivalent to the property that every homomorphism of the group $F_\infty imes F_\infty$ into the unitary group $U(\ell^2)$ with the strong topology is pointwise approximated by homomorphisms with a precompact range. In this form, the property (which we call Kirchberg's property) makes sense for an arbitrary topological group. We establish the validity of the Kirchberg property for the isometry group $Iso(U)$ of the universal Urysohn metric space $U$ as a consequence of a stronger result: every representation of a residually finite group by isometries of $U$ can be pointwise approximated by representations with a finite range. This brings up the natural question of which other concrete infinite-dimensional groups satisfy the Kirchberg property.

研究の動機と目的

• 残留有限群のウリソン空間上の等長変換による表現が、有限像を持つ表現によって近似可能かどうかを調査すること。
• ウリソン空間の等長群が、コンヌの埋め込み予想に関連する重要な条件であるキルヒバーグの性質を満たすことを確立すること。
• ユニタリでない、等長的群作用に対する有限部分群による近似枠組みを、非単位的群作用へと拡張すること。
• ウリソン空間が、無限次元幾何学における群表現の研究に用いる普遍的メトリックモデルとして果たす役割を明確にすること。
• 可分なポーランド群が、コンパクト部分群の増大列によって稠密に近似可能であるならば、それがキルヒバーグの性質を満たすかどうかを検討し、その結果、コンヌの埋め込み予想が導かれる可能性を検討すること。

提案手法

• 最初の著者による先行研究の構成を洗練させ、群作用の有限近似をウリソン空間に埋め込む。
• 等長群の空間における点別収束の位相を適用し、𝕌 の等長群にコンパクト開位相を導入する。
• 証明は、ウリソン空間の超均一性と普遍性に依拠しており、有限等長埋め込みが全空間の等長に一意に拡張可能であることを保証する。
• 𝕌 の等長群が、その合併が稠密となる有限部分群の増大列を備えているという事実を活用し、近似技法を可能にする。
• 与えられたアーベル的等長群の部分群を近似するコンパクト部分群のネットを構成し、キルヒバーグの性質を満たす条件を満たす。
• 鍵となる技術的ステップは、任意の有限群元集合と任意の ε > 0 に対して、強い位相で ε-近傍内にある有限像を持つ表現が存在することの証明である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 残留有限群のウリソン空間上での等長表現は、すべて有限像を持つ表現によって近似可能か？
• RQ2 ウリソン空間の等長群はキルヒバーグの性質を満たすか、すなわち、相対的にコンパクト（この文脈では有限）な像を持つ表現によって近似可能か？
• RQ3 ウリソン空間は、メトリック幾何学における群表現の近似性質を研究するための普遍的モデルとして適切か？
• RQ4 可分なポーランド群が、コンパクト部分群の増大列をもち、その合併が稠密であるならば、その群はキルヒバーグの性質を満たすか？
• RQ5 そのような性質が成り立つならば、ユニタリ群 U(ℓ²) に適用することで、コンヌの埋め込み予想が導かれるか？

主な発見

• 残留有限群のウリソン空間上での等長変換によるすべての表現は、点別に有限像を持つ表現によって近似可能である。
• ウリソン空間の等長群はキルヒバーグの性質を満たしており、これは、その中に倣うホモモーマーティズムが、前コンパクト（この文脈では有限）な像を持つものによって近似可能であることを意味する。
• この結果により、残留有限群のウリソン空間上でのすべての等長表現空間において、有限像を持つ表現が稠密であることが示される。
• ウリソン空間は、このような近似現象が成り立つ普遍的メトリック空間として機能するが、ℓ² 上の単位球面ではこのような近似は失敗する。
• 証明技法は、コンパクト部分群の増大列を備える他の群に対しても拡張可能であり、キルヒバーグの性質を満たすより広いクラスの群が存在することを示唆する。
• 本研究は、コンヌの埋め込み予想が、C*(F∞ × F∞) の残留有限次元性と同値であることを支持する。その根拠として、𝕌 の等長群が用いられる。