[論文レビュー] Representing elementary semi-algebraic sets by a few polynomial inequalities: A constructive approach

Gennadiy Averkov|ArXiv.org|Apr 14, 2008

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ℝᵈ 内の有界な初等的半代数的集合を、最小限の多項式不等式で表現する構成的技法を提示する。集合内の任意の点における活性制約の最大数を分析することで、閉集合に対しては n+1 個、開集合に対しては n 個の多項式で十分であることを証明する。ここで、n 個の制約が同時に活性化される点の集合が有限である場合に該当する。構成のための明示的アルゴリズムも提示する。

ABSTRACT

Let P be an elementary closed semi-algebraic set in R^d, i.e., there exist real polynomials p_1,...,p_s such that P= \{x \in R^d : p_1(x) \ge 0, >..., p_s(x) \ge 0 \}; in this case p_1,...,p_s are said to represent P. Denote by $n$ the maximal number of the polynomials from \{p_1,...,p_s\} that vanish in a point of P. If P is non-empty and bounded, we show that it is possible to construct n+1 polynomials representing P. Furthermore, the number n+1 can be reduced to n in the case when the set of points of P in which n polynomials from \{p_1,...,p_s\} vanish is finite. Analogous statements are also obtained for elementary open semi-algebraic sets.

研究の動機と目的

• 初等的半代数的集合を表現するために必要な多項式不等式の数に対する構成的上界を提供すること。
• 半代数的幾何における従来の理論的境界が非構成的であるという問題を扱うこと。
• 集合の幾何的・組合せ的性質に基づいて、最小の多項式表現を明示的に生成するアルゴリズムを開発すること。
• 活性制約数の最大値をとる点の構造を用いて境界を精緻化すること。
• 有界性および有限性の条件下で、閉集合および開集合の両方の半代数的集合へ結果を拡張すること。

提案手法

• P における任意の点で同時に消える多項式の最大数を n と定義する。
• 定義多項式の基本対称関数を用いて、局所的に P を表現する新たな不等式を構成する。
• Łojasiewicz 型不等式と非負多項式による摂動を適用し、新しい表現の全域的妥当性を保証する。
• 臨界点（n 個の制約が活性化される点）上にのみゼロとなる厳密に凹型の多項式 q₁ を構築し、P の外側では負であることを保証する。
• 先導対称関数を変更するための摂動項 gₘ,λ,k(x)ˡ hᵤ(x)ᵐ を導入し、P 上での非負性を維持するとともに、内部で厳密に正の値をとることを強制する。
• 実数の一次論理理論の決定可能性を活用し、得られる多項式系のアルゴリズム的計算可能性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界な初等的半代数的集合を表現するために必要な多項式不等式の数は、活性制約の最大数に基づいて構成的に上界づけられるか？
• RQ2 どのような条件下で、半代数的集合の表現において n+1 個から n 個に不等式数を削減できるか？
• RQ3 与えられた半代数的集合に対して、最小の多項式表現をアルゴリズム的に構成する方法は何か？
• RQ4 最大活性制約数をとる点の集合の有限性が、必要な不等式数の削減に果たす役割は何か？
• RQ5 半代数的幾何における古典的境界の非構成的証明を置き換えるための構成的手法を開発できるか？

主な発見

• 任意の空でない有界な初等的閉半代数的集合 P について、s 個の多項式で定義されるとき、s(d,P) ≤ n+1 が成り立つ。ここで n は P 内の任意の点で同時に消える多項式の最大数である。
• n 個の多項式が同時に消える点の集合が有限である場合、s(d,P) ≤ n が成り立ち、n+1 からの境界の改善が達成される。
• 活性制約集合が無限大の場合には n+1 個の多項式で P と P₀ を表現する明示的アルゴリズムが提供され、有限の場合には n 個の多項式が使用可能である。
• 構成は元の多項式の対称関数と、全域的妥当性を保証するように巧みに設計された摂動項に依存する。
• 実数の一次論理理論の決定可能性を活用することで、アルゴリズムは計算可能であるが、計算複雑度は高い。
• 結果は開半代数的集合へも拡張可能であり、一般には s₀(d,P₀) ≤ n+1 が成り立ち、臨界点集合が有限である場合には s₀(d,P₀) ≤ n が成り立つ。