[論文レビュー] Structured Semidefinite Representation of Some Convex Sets

J. William Helton, Jiawang Nie|ArXiv.org|Feb 13, 2008

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、多項式不等式で定義される凸集合に対して、sos-凹性および正の曲率条件を用いて、明示的かつ構造的な半定値計画法（SDP）表現を提示する。これらの集合を高次元のLMI表現可能形に持ち上げる構成可能な手法を提供し、標準的なSDPソルバーを用いた効率的な最適化を可能にする。主な結果として、sos-凹性または正の曲率を持つ境界を有する条件下でSDP表現可能性が示される。

ABSTRACT

Linear matrix Inequalities (LMIs) have had a major impact on control but formulating a problem as an LMI is an art. Recently there is the beginnings of a theory of which problems are in fact expressible as LMIs. For optimization purposes it can also be useful to have "lifts" which are expressible as LMIs. We show here that this is a much less restrictive condition and give methods for actually constructing lifts and their LMI representation.

研究の動機と目的

• LMI集合の射影としての半定値表現を有する凸集合の同定という未解決問題に取り組む。
• 多項式不等式で定義される凸集合のための明示的かつ計算可能なSDP表現の構成を提供する。
• sos-凹多項式を超えて、正の曲率を持つ境界を有する集合を含むLMI表現可能性の理論を拡張する。
• 幾何的および代数的条件下で、元の凸集合を正確に表現するSDP緩和を構築する実用的アルゴリズムを提供する。

提案手法

• 定義多項式の次数に基づいて、補助変数におけるモーメント行列と線形行列不等式を用いたSDP緩和を構築する。
• 各多項式のヘッセ行列が行列多項式の平方和であるというsos-凹性条件を用い、正確なSDP表現を保証する。
• 変数の分離性を活用し、各変数ごとに別々にスパースなモーメント行列を構築することで、よりスパースなSDP表現を導入する。
• 境界における正の曲率条件——接空間に制限したヘッセ行列の負定値性——を用い、SDP表現可能性の代替十分条件を提示する。
• 境界に正の曲率がある場合に有限回で収束するSDP緩和の階層を適用するが、本稿では反復的階層よりも明示的構成に焦点を当てる。
• 補助変数を用いて元の集合を高次元空間に埋め込み、その射影が元の凸集合を回復する方法を構成的に提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基本的閉代数的凸集合が、スペクトラヒドロン（すなわちLMI集合）の射影として正確に表現可能であるための条件は何か？
• RQ2 定義多項式がsos-凹性を満たす場合、そのような集合に対して明示的かつ有限次元のSDP表現を構築可能か？
• RQ3 凸集合の境界が正の曲率を持つ場合、定義多項式が凹でない場合でもSDP表現可能性が保証されるか？
• RQ4 定義多項式がスパースな場合に、SDP表現のサイズを最小化する方法は何か？
• RQ5 構成法は、サイズおよび構造の観点で計算的に効率的かつ予測可能なものとできるか？

主な発見

• すべての定義多項式がsos-凹性を満たす場合、提案されたSDP緩和（2.4）は元の凸集合Sを正確に表現する。
• 分離性を活用することで、次数dの多項式に対して補助変数の数をO(n^d)からO(n(d-1))に削減したよりスパースなSDP表現（3.7）が構築可能である。
• 集合Sの境界における正の曲率条件——接空間に制限したヘッセ行列の負定値性——は、定義多項式が凹でない場合でもSDP表現可能性を保証する。
• 構成法は明示的かつ有限であり、サイズも事前に把握可能である。反復的階層とは異なり、収束ステップがしばしば予測不能である。
• 集合{x ∈ ℝ₊ⁿ : x₁x₂⋯xₙ ≥ 1}の例は、非凹多項式でも境界に正の曲率があればSDP表現可能な集合が得られることを示している。
• 本稿は、正の曲率条件が、非退化な定義関数を有する厳密凸集合に対して成り立つことから、厳密凸性の自然かつ制限のない一般化であることを確認している。