[論文レビュー] Representing multipliers of the Fourier algebra on non-commutative $L^p$ spaces

Matthew Daws|White Rose Research Online (University of Leeds, The University of Sheffield, University of York)|Jun 28, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 30被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、局所コンpakト群 $ G $ の右フォン・ノイマン代数に関連する非可換 $ L^p $ 空間の直和上に、完全有界乗算子代数 $ M_{cb}A(G) $ の標準的等長表現を構成する。$ A_2(\hat{G}) $ が $ L^1(G) $ に等長同型であることを確立し、アーベルの場合を一般化し、これらの空間から構成される新しいフィガ＝タラマンカ＝ハーツ型代数 $ A_p(\hat{G}) $ を導入。この代数は $ C^*_\lambda(G) $ の稠密部分代数を含むことを示した。

ABSTRACT

We show that the multiplier algebra of the Fourier algebra on a locally compact group $G$ can be isometrically represented on a direct sum on non-commutative $L^p$ spaces associated to the right von Neumann algebra of $G$. If these spaces are given their canonical Operator space structure, then we get a completely isometric representation of the completely bounded multiplier algebra. We make a careful study of the non-commutative $L^p$ spaces we construct, and show that they are completely isometric to those considered recently by Forrest, Lee and Samei; we improve a result about module homomorphisms. We suggest a definition of a Figa-Talamanca--Herz algebra built out of these non-commutative $L^p$ spaces, say $A_p(\hat G)$. It is shown that $A_2(\hat G)$ is isometric to $L^1(G)$, generalising the abelian situation.

研究の動機と目的

• 局所コンパクト群 $ G $ の右フォン・ノイマン代数に関連する非可換 $ L^p $ 空間上に、フォーリエ代数 $ A(G) $ の乗算子代数の標準的等長表現を構成すること。
• 複素補間と非可換 $ L^p $ 空間を用いて、ポントリャーギンとヤングの双対性枠組みを非アーベル群へ拡張すること。
• これらの非可換 $ L^p $ 空間から構成される新しいフィガ＝タラマンカ＝ハーツ型代数 $ A_p(\hat{G}) $ を定義し、その性質を調べること。
• $ A_2(\hat{G}) $ がアーベルの場合を一般化して、自然な等長同型により $ L^1(G) $ に一致することを示すこと。
• $ 1 < p < \infty $ の範囲で、$ A_p(\hat{G}) $ が $ C^*_\lambda(G) $ の稠密部分代数を含むことを証明すること。

提案手法

• 重みと双対群構造を用いて、$ G $ の右フォン・ノイマン代数に関連する非可換 $ L^p $ 空間 $ L^p(\hat{G}) $ を複素補間により構成する。
• $ p_n \to 1 $ の条件下で、直和 $ E = \bigoplus_{n} L^{p_n}(\hat{G}) $ に $ \ell^2 $-ノルムと標準的演算子空間構造を導入する。
• 左正則表現と $ L^2(G) $ と $ L^2(\hat{G}) $ を intertwine する作用素 $ K $ を用いて、$ A(G) \otimes_{\gamma} A(G) $ から $ \mathcal{B}(E) $ への表現 $ \pi^p_* $ を定義する。
• $ \pi^p_* $ の像が $ A_p(\hat{G}) $ に一致し、$ \pi^p_* $ が等長的かつ弱*–弱*連続であることを示す。
• 空間 $ E $ の演算子空間構造を用いて、$ M_{cb}A(G) $ の完全有界表現を定義し、これが完全等長的かつ弱*–弱*連続であることを示す。
• $ C_{00}(G)^2 $ 上での畳み込みと台の制御による構成を通じて、$ A_p(\hat{G}) $ が $ C^*_\lambda(G) $ の稠密部分代数を含むことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ MA(G) $ は、$ VN(G) $ に関連する非可換 $ L^p $ 空間の直和上に等長的表現をもつのか。
• RQ2 非アーベル群に対して、非可換 $ L^p $ 空間を用いて定義される、フィガ＝タラマンカ＝ハーツ代数 $ A_p(G) $ の自然な一般化は存在するか。
• RQ3 $ A_2(\hat{G}) $ は、アーベルの場合を拡張する標準的等長同型のもとで $ L^1(G) $ と一致するのか。
• RQ4 $ A_p(\hat{G}) $ 自身がバナッハ代数であるのか、それとも $ C^*_\lambda(G) $ の稠密部分代数にすぎないのか。
• RQ5 $ L^p(\hat{G}) $ 上の加群作用は、関数の点ごとの乗法として実現可能か。また、これらの空間は [10] に定義されたものと完全等長同型であるか。

主な発見

• $ MA(G) $ は、$ p_n \to 1 $ の条件下で、$ \ell^2 $-直和 $ E = \bigoplus_n L^{p_n}(\hat{G}) $ 上に弱*–弱*連続な等長的表現をもつ。
• $ E $ に標準的演算子空間構造を導入すると、$ M_{cb}A(G) $ は $ \mathcal{CB}(E) $ に完全等長的かつ弱*–弱*連続に埋め込まれる。
• $ A_2(\hat{G}) $ は、自然な等長同型のもとで $ L^1(G) $ に一致し、$ A_2(\hat{G}) $ の商ノルムは $ \lambda(L^1(G)) $ の $ L^1 $-ノルムと一致する。
• $ A_p(\hat{G}) $ は、$ C_{00}(G)^2 $ 上での畳み込みと台の制御により構成された、$ C^*_\lambda(G) $ の稠密部分代数を含む。
• 複素補間により構成された非可換 $ L^p(\hat{G}) $ 空間は、フォーレスト、リー、サメイが定義した空間と完全等長同型であり、彼らのモジュール準同型に関する結果を改善する。
• 本構成により、[10] のコホノロジー的結果を $ p \in (1,\infty) $ 全体に拡張する自然な枠組みが得られる。これは、元々 $ p \geq 2 $ の範囲でのみ有効であったものである。