[論文レビュー] Representing Random Permutations as the Product of Two Involutions

Charles Burnette, Eric Schmutz|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、$n$ 個の要素のランダムな置換を2つの対合置換の積として表す方法の数、$\mathbf{N}_n(\sigma)$ が $n \to \infty$ のとき漸近的に対数正規分布に従うことを確立する。証明の鍵は、$\mathbf{N}_n(\sigma)$ が、エルドシュとトゥーランによって既に漸近的に対数正規分布に従うことが示された、サイクル長の積 $\mathbf{B}_n(\sigma)$ によってよく近似されることを示すことにあり、これにより $\mathbf{N}_n$ に対しても対数正規極限定理が成立する。

ABSTRACT

An involution is a permutation that is its own inverse. Given a permutation $σ$ of $[n],$ let $\mathbf{N}_{n}(σ)$ denote the number of ways to write $σ$ as a product of two involutions of $[n].$ If we endow the symmetric groups $S_{n}$ with uniform probability measures, then the random variables ${\mathbf N}_{n}$ are asymptotically lognormal. The proof is based upon the observation that, for most permutations $σ$, $\mathbf{N}_{n}(σ)$ can be well approximated by $\mathbf{B}_{n}(σ),$ the product of the cycle lengths of $σ$. Asymptotic lognormality of $\mathbf{N}_{n}$ can therefore be deduced from Erdős and Turán's theorem that $\mathbf{B}_{n}$ is itself asymptotically lognormal.

研究の動機と目的

• ランダムな置換 $\sigma \in S_n$ を2つの対合置換の積として表す方法の数 $\mathbf{N}_n(\sigma)$ の漸近的分布を特定すること。
• Lugoの予想、すなわち $\mathbf{N}_n$ が一様ランダム置換測度のもとで漸近的に対数正規分布に従うという予想を解決すること。
• $\mathbf{N}_n(\sigma)$ とサイクル長の積 $\mathbf{B}_n(\sigma)$ の間の関係を確立し、ほとんどすべての置換において $\mathbf{N}_n(\sigma)$ が $\mathbf{B}_n(\sigma)$ によってよく近似されることを示すこと。
• 既知の $\mathbf{B}_n(\sigma)$ の漸近的対数正規性を活用し、$\mathbf{N}_n(\sigma)$ に対しても同様の極限定理を導出すること。

提案手法

• 置換 $\sigma$ に含まれる $k$-サイクルの数を $c_k$ とするとき、明示的な公式 $\mathbf{N}_n(\sigma) = \prod_{k=1}^n \sum_{j=0}^{\lfloor c_k/2 \rfloor} \frac{k^{c_k - j} c_k!}{2^j j! (c_k - 2j)!}$ を用いて、因数分解の構造を分析する。
• サイクル分解に基づく構成的因数分解の議論を用いて、$\mathbf{N}_n(\sigma) \geq \mathbf{B}_n(\sigma) = \prod_k k^{c_k}$ を確立する。
• サイクル数に関する確率的評価を適用する：$\mathbb{P}_n(c_k \geq 2 \text{ for some } k \geq \xi) = O(1/\xi)$ および $\mathbb{P}_n(c_k \geq \xi \text{ for some } k \leq \xi) = O(\xi/e^\xi + \xi/n)$ であり、これはほとんどすべての置換が長サイクルを少数しか持たないことを示している。
• 高確率で $\mathbf{N}_n(\sigma) \leq (c \xi^\xi)^\xi \mathbf{B}_n(\sigma)$ が成り立つことを示し、$\xi = \sqrt{\log n}$ とすると、これは $\sigma_n = \sqrt{\frac{1}{3}\log^3 n}$ よりもゆっくり増加する。
• 標準正規分布の累積分布関数 $\Phi(x)$ の連続性と、既知の $\mathbf{B}_n(\sigma)$ の漸近的対数正規性（$\mu_n \sim \frac{1}{2}\log^2 n$ および $\sigma_n^2 \sim \frac{1}{3}\log^3 n$）を用いて、極限定理を $\mathbf{N}_n(\sigma)$ に拡張する。
• 上側と下側の尾確率の境界を組み合わせ、$\mathbb{P}_n(\log \mathbf{N}_n \leq \mu_n + x\sigma_n) \to \Phi(x)$ を示し、漸近的対数正規性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムな置換を2つの対合置換の積として表す方法の数 $\mathbf{N}_n(\sigma)$ は漸近的に対数正規分布に従うか？
• RQ2 $\mathbf{N}_n(\sigma)$ とサイクル長の積 $\mathbf{B}_n(\sigma)$ の関係は何か？ また、この近似は確率論的にどのように定量できるか？
• RQ3 ほとんどすべての置換 $\sigma$ に対して $\mathbf{N}_n(\sigma)$ の典型的なオーダーはどの程度か？
• RQ4 平均 $\mathbb{E}_n[\mathbf{N}_n]$ が誤って大きく見えるのはなぜか？ そして、分布がなぜ $\exp(\frac{1}{2}\log^2 n)$ の周囲に集中するのか？
• RQ5 因数分解の組み合わせ的構造がより複雑であるにもかかわらず、$\mathbf{B}_n(\sigma)$ の漸近的対数正規性が $\mathbf{N}_n(\sigma)$ に拡張可能か？

主な発見

• 一様ランダム置換 $\sigma \in S_n$ を2つの対合置換の積に分解する方法の数を数える確率変数 $\mathbf{N}_n$ は、$n \to \infty$ のとき漸近的に対数正規分布に従う：$\mathbb{P}_n(\log \mathbf{N}_n \leq \mu_n + x\sigma_n) \to \Phi(x)$。
• ほとんどすべての置換 $\sigma$ に対して、$e^{(\frac{1}{2}-\epsilon)\log^2 n} < \mathbf{N}_n(\sigma) < e^{(\frac{1}{2}+\epsilon)\log^2 n}$ が成り立ち、これは $\exp(\frac{1}{2}\log^2 n)$ の周囲にログスケールで集中していることを示している。
• $\mathbf{N}_n(\sigma)$ は、$\sigma$ のサイクル長の積 $\mathbf{B}_n(\sigma) = \prod_k k^{c_k}$ によって高確率でよく近似される。
• サイクル数の評価を用いて近似誤差を制御する：$\xi = \sqrt{\log n}$ とすると、確率 $1 - O(1/\xi + \xi/n + \xi/e^\xi)$ で $\mathbf{N}_n(\sigma) \leq (c \xi^\xi)^\xi \mathbf{B}_n(\sigma)$ が成り立つ。
• エルドシュとトゥーランによって示された $\mathbf{B}_n(\sigma)$ の漸近的対数正規性（$\mu_n \sim \frac{1}{2}\log^2 n$ および $\sigma_n^2 \sim \frac{1}{3}\log^3 n$）から、$\mathbf{N}_n(\sigma)$ に対しても同様の極限定理が導かれる。
• 最大値 $\mathbf{N}_n(\sigma)$ は $|\mathcal{T}_n|$ であり、これは恒等置換でのみ達成されるが、最小値は $n-1$ であり、これは単一の $(n-1)$-サイクルを持つ置換でのみ達成される。