[論文レビュー] The cycle structure of compositions of random involutions

Michael Lugo|ArXiv.org|Nov 18, 2009

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 18被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、対称群 $S_n$ 内の2つのランダムな対合の合成のサイクル構造を調査し、このような合成は通常、$\sqrt{n}$ 個の長さ $\sqrt{n}$ のサイクルを持つことが示された。一方、固定点のない対合では、$\log n$ 個のサイクルが得られる。グラフ論的モデルを用いて指数型母関数を導出し、ランダムな置換を2つの対合に分解する方法の数が漸近的に対数正規分布に従うことを証明した。中央値は $\exp\left(\frac{1}{2}(\log n)^2\right)$ に近く、一様分布とは著しく異なる分布であることが示された。

ABSTRACT

In this article we consider the cycle structure of compositions of pairs of involutions in the symmetric group S_n chosen uniformly at random. These can be modeled as modified 2-regular graphs, giving rise to exponential generating functions. A composition of two random involutions in S_n typically has about n^(1/2) cycles, and the cycles are characteristically of length n^(1/2). Compositions of two random fixed-point-free involutions, on the other hand, typically have about log n cycles and are closely related to permutations with all cycle lengths even. The number of factorizations of a random permutation into two involutions appears to be asymptotically lognormally distributed, which we prove for a closely related probabilistic model. This study is motivated by the observation that the number of involutions in [n] is (n!)^(1/2) times a subexponential factor; more generally the number of permutations with all cycle lengths in a finite set S is n!^(1-1/m) times a subexponential factor, and the typical number of k-cycles is nearly n^(k/m)/k. Connections to pattern avoidance in involutions are also considered.

研究の動機と目的

• 置換 $\tau \circ \sigma$ のサイクル構造を、$S_n$ 内のランダムな対合 $\sigma, \tau$ に対して理解すること。
• 2色グラフを用いてこのような合成をモデル化し、指数型母関数を導出すること。
• ランダムな対合の合成におけるサイクル数および長さの分布を分析すること。
• 置換を2つの対合に分解する方法の数、特にその漸近的分布を調査すること。
• 対合、サイクル型、パターン回避型置換との関係を探索すること。

提案手法

• 対合を部分マッチングとして表現し、それらの合成をパスおよびサイクルを含む2色グラフとしてモデル化する。
• 多変数指数型母関数を用いて、サイクル構造および成分タイプを符号化する。
• 鞍点法および漸近的解析を適用し、期待されるサイクル数およびその長さ分布を導出する。
• 分解数をサイクル型ごとの積としてモデル化し、対数正規極限定理に到達する。
• ライアプノフの中心極限定理を用いて、分解数の対数 $\log F(\pi)$ の漸近的正規性を証明する。
• 分解とラベル付きグラフィカルサイクルの間の双対写像を確立し、偶数長サイクルのみを持つ置換の分解数を数える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムな対合 $\sigma, \tau$ における $\tau \circ \sigma$ の典型的なサイクル数および長さ分布は何か？
• RQ2 対合が固定点のない制約を受ける場合、サイクル構造はどのように変化するか？
• RQ3 ランダムな置換を2つの対合に分解する方法の数の漸近的分布は何か？
• RQ4 このような分解数は、置換のサイクル型とどのように関係するか？
• RQ5 分解数と対数正規極限分布の関係は何か？

主な発見

• ランダムな対合 $\sigma, \tau$ に対する $\tau \circ \sigma$ の平均サイクル数は $\sqrt{n} + \frac{1}{2}\log n + O(1)$ である。
• 固定点のない対合では、サイクル数は漸近的に正規分布に従い、平均 $\log n$、分散 $2\log n$ をとる。
• ランダムな置換を2つの対合に分解する方法の数は、漸近的に対数正規分布に従い、中央値は $\exp\left(\frac{1}{2}(\log n)^2\right)$ に近く、一様分布とは著しく異なる。
• 期待される分解数は漸近的に $\frac{e^{2\sqrt{n}}}{\sqrt{8\pi e n}}(1+o(1))$ に収束する。
• すべてのサイクル長が偶数である置換に対して、固定点のない対合への分解数は $\prod_{k=1}^n (c_k - 1)!! \, k^{c_k/2}$ に等しい。ここで $c_k$ は $k$-サイクルの個数を表す。
• すべての $c_k$ が偶数である（つまり、このような分解が可能である）置換の割合は $\Theta(n^{-2})$ である。