[論文レビュー] Resistance distance-based graph invariants and spanning trees of graphs derived from the strong product of $P_2$ and $C_n$

Yingui Pan, Jianping Li|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2019

Graph theory and applications参考文献 28被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、$P_2$ と $C_n$ の強積によって得られるグラフおよび $r$ 個の垂直辺を削除した部分グラフにおいて、キルホフ指数、乗法的次数キルホフ指数、スパニングツリーの数の正確な公式を導出する。著者らは、元のグラフおよび変更されたグラフの両方において、キルホフ指数がウィーナー指数のおよそ1/6に等しくなる顕著な漸近的関係を明らかにした。これは、抵抗距離と距離に基づくトポロジカル指標との間の深い構造的関連性を示している。

ABSTRACT

Let $G_n$ be a graph obtained by the strong product of $P_2$ and $C_n$, where $n\geqslant3$. In this paper, explicit expressions for the Kirchhoff index, multiplicative degree-Kirchhoff index and number of spanning trees of $G_n$ are determined, respectively. It is surprising to find that the Kirchhoff (resp. multiplicative degree-Kirchhoff) index of $G_n$ is almost one-sixth of its Wiener (resp. Gutman) index. Moreover, let $\mathcal{G}^r_n$ be the set of subgraphs obtained from $G_n$ by deleting any $r$ vertical edges of $G_n$, where $0\leqslant r\leqslant n$. Explicit formulas for the Kirchhoff index and the number of spanning trees for any graph $G^r_n\in \mathcal{G}^r_{n}$ are completely established, respectively. Finally, it is interesting to see that the Kirchhoff index of $G^r_n$ is almost one-sixth of its Wiener index.

研究の動機と目的

• グラフ $G_n = P_2 \boxtimes C_n$ におけるキルホフ指数、乗法的次数キルホフ指数、スパニングツリー数の明示的閉形式表現を導出すること。
• これらの結果を、$G_n$ から $r$ 個の垂直辺を削除して得られる部分グラフ族 $\mathcal{G}^r_n$（$0 \leq r \leq n$）に拡張すること。
• これらのグラフにおける抵抗に基づく指標（キルホフ指数、乗法的次数キルホフ指数）と距離に基づく指標（ウィーナー指数、グットマン指標）の漸近的関係を調査すること。
• スペクトル分解および行列のブロック分割技術を用いて、$G_n$ 及びその辺削除版のラプラシアン行列のスペクトル的性質を調査すること。

提案手法

• 著者らは、ラプラシアン行列 $L(G)$ の固有値を用いたスペクトルグラフ理論を用い、キルホフ指数を公式 $K\!f(G) = n \sum_{i=2}^n \frac{1}{\rho_i}$ により計算する。ここで $\rho_i$ は $L(G)$ の非ゼロ固有値である。
• 乗法的次数キルホフ指数の計算には、公式 $K\!f^*(G) = 2m \sum_{i=2}^n \frac{1}{\lambda_i}$ を適用する。ここで $\lambda_i$ は正規化ラプラシアン行列 $\mathcal{L}(G)$ の非ゼロ固有値である。
• $G_n = P_2 \boxtimes C_n$ は、$C_n$ の構造を用いて、ラプラシアン行列をブロック形式 $L_{11}$, $L_{12}$ に分割することで解析され、結果として得られる $L_A$ 及び $L_S$ 行列の固有値が導出される。
• スパニングツリー数 $\tau(G)$ は公式 $\tau(G) = \frac{1}{n} \prod_{i=1}^{n-1} \lambda_i^{(A)} \cdot \prod_{j=1}^n s_j$ を用いて計算され、ここで $\lambda_i^{(A)}$ は類似隣接行列の固有値、$s_j$ はシュール補行列の対角成分である。
• 本手法は、$L_A(G^r_n) = 2L(C_n)$ および $L_S(G^r_n)$ が対角行列であるという事実を活用しており、これによりサイクルの既知のスペクトルに基づいた正確な固有値計算が可能となる。
• 漸近的解析では、$K\!f(G^r_n)$ と $W(G^r_n)$ を比較し、$\lim_{n\to\infty} \frac{K\!f(G^r_n)}{W(G^r_n)} = \frac{1}{6}$ を示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフ $G_n = P_2 \boxtimes C_n$ におけるキルホフ指数、乗法的次数キルホフ指数、スパニングツリー数の正確な閉形式表現は何か？
• RQ2 $r$ 個の垂直辺が $G_n$ から削除された場合、$\mathcal{G}^r_n$ として得られる部分グラフ族において、これらの不変量はどのように変化するか？
• RQ3 $n \to \infty$ のとき、$G^r_n$ においてキルホフ指数とウィーナー指数の間には普遍的な漸近的比が存在するか？
• RQ4 任意の連結グラフ $G$ に対して、$P_2 \boxtimes G$ のスペクトル分解を一般化できるか？
• RQ5 このような積グラフにおける抵抗に基づく指標（キルホフ指数、乗法的次数キルホフ指数）と距離に基づく指標（ウィーナー指数、グットマン指標）の関係は何か？

主な発見

• 任意の $r$-辺削除がなされた $\mathcal{G}^r_n$ において、$G_n = P_2 \boxtimes C_n$ のキルホフ指数は正確に $\frac{n^3 + 4n^2 + (2r - 1)n}{12}$ に等しい。
• $G^r_n$ のスパニングツリー数は $\tau(G^r_n) = n \cdot 2^{2n + r - 2} \cdot 3^{n - r}$ であり、$n$ および $r$ に対して指数関数的依存性を示している。
• 乗法的次数キルホフ指数は本稿では明示的に計算されていないが、キルホフ指数がウィーナー指数のおよそ1/6に漸近的に等しいことが示されている：$\lim_{n\to\infty} \frac{K\!f(G^r_n)}{W(G^r_n)} = \frac{1}{6}$。
• $r = 0$ の場合、結果は元のグラフ $G_n$ の場合に還元され、キルホフ指数は $\frac{n^3 + 4n^2 - n}{12}$ に等しくなる。これは既知のサイクルに基づく公式と一致する。
• $G^r_n$ のウィーナー指数は $W(G^r_n) = W(G_n) + r$ に等しく、削除された垂直辺の数に比例して線形に増加する。
• キルホフ指数 $K\!f(G^r_n)$ とウィーナー指数 $W(G^r_n)$ の漸近的比が $1/6$ に等しいことは、すべての $r$ に対して一様に成り立つ。これは、このグラフ族に普遍的な構造的性質が存在することを示唆している。